Metalin ucu için hız fonkisyonunu
$ \vec{v}_{uç} (t) $
ve konum fonksiyonunu
$ \vec{x}_{uç} (t) $
ile gösterelim.
Karınca için içinse konum $\vec{x}$ ve hız $\vec{v}$ ile gösterilsinler.
Amacımız, $\vec{x} (t) = \vec{x}_{uç} (t) $ olduğu $t$ değerini bulmak.
Şimdi, fonksiyonları inşa edelim.
$$ \vec{v}_{uç} (t) = - 1 $$
olarak yazdım. (Metalin ucunu $x=0$ a sabitledim ve kısalmayı $-$ yön olarak seşçtim)
$$ \vec{x}_{uç} = \int -1 dt' $$
$$ \vec{x}_{uç} = 10 - t $$
olur.
Karıncanın hızı $\vec{v}$ yi
$$ \vec{v} = \dfrac{dx}{dt} $$
şeklinde ifade ettiğimizde,
$$ \dfrac{dx}{dt} = 1 - \dfrac{x}{10 - t} $$
olur. Bu denklemi,
$$ \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{10 - t - x}{10 - t} $$
$$ dx[10 - t] + dt[ x + t - 10] = 0 $$
Bu bir tam diferansiyel değil,
ifadeyi tam diferansiyel yapmak için sadece $t$ ye bağlı bir $\mu (t)$ ile ifadeyi çarpalım,
$$ dx[10\mu - t \mu] + dt[ x\mu + t\mu - 10\mu] = 0 $$
şimdi tam diferansiyellik koşulun
$$ \dfrac{10\mu - t \mu}{dt} = \dfrac{x\mu + t\mu - 10\mu}{dx} $$
$$ \dfrac{d \mu}{dt} (10 -t) = 2 \mu $$
$$ \mu (t) = \dfrac{1}{(10 - t)^2} $$
olur.
Diferansiyel de
$$ dx[\dfrac{1}{10-t}] + dt[ \dfrac{x + t - 10}{(10-t)^2}] = 0 $$
halini alır. Şimdi $dx$ li kısma integral alırsak
$$ F(x,t) = \int [\dfrac{1}{10-t}] dx $$
$$ F(x,t) = \dfrac{x}{10-t} + g(t) $$
olur. Bulduğumuz kapalı fonksiyona $t$ ye göre türev alırsak $dt$ li kısmı elde ederiz.
$$ \dfrac{\partial F(x,t)}{ \partial t} = \dfrac{x}{(10-t)^2} + \dfrac{d g(t)}{dt} = \dfrac{x + t - 10}{(10-t)^2} $$
$$ \dfrac{\partial F(x,t)}{ \partial t} = \dfrac{x}{(10-t)^2} + \dfrac{d g(t)}{dt} = \dfrac{x }{(10-t)^2} + \dfrac{t-10}{(10-t)^2} $$
$$ \dfrac{d g(t)}{dt} = - \dfrac{1}{(10-t)}$$
ifadeyi integrallersek,
$$ g(t) = \int - \dfrac{1}{(10-t)} dt $$
$$ g(t) = \ln (10 - t) + k $$
ve
$$ F(x,t) = \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) + k = 0 $$
$x(0) = 0$ koşulunu $k$ yi bulmak için kullanalım.
$$ F(0,0) = \ln(10) + k = 0 $$
$$ k = - \ln(10) $$
$$ F(x,t) = \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) - \ln(10) = 0 $$
buradan da
$$ \dfrac {x}{(10-t)} + \ln(10-t) - \ln(10) = 0 $$
$$ \dfrac {x}(t) = (10-t) [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 0 $$
elde edilir.
Artık
$$ \vec{x}_{uç} = 10 - t $$
ile
$$ x(t) = (10-t) [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 0 $$
yi eşitleyebiliriz.
$$ x(t) = \vec{x}_{uç} (t) $$
$$ (10-t) [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 10 - t $$
$$ [ \ln(10) - \ln(10-t) ] = 1 $$
$$ \ln (\dfrac{10}{10 - t}) = 1 $$
$$ \dfrac{10}{10 - t} = e $$
den
$$ t = 10 (1 - \dfrac{1}{e}) $$
olur.
Bu $t$ değerini
$$ \vec{x}_{uç} (t) = 10 - t $$
de yerini yazıp karıncanın ucuna geldiği noktayı da hesaplayalım.
$$ \vec{x}_{uç} (10 (1 - \dfrac{1}{e})) = 10 - (10 (1 - \dfrac{1}{e})) $$
$$ \vec{x}_{uç} (10 (1 - \dfrac{1}{e})) = \dfrac{10}{e})) $$
olur.