Haluk Beker anısına ....
Lorentz Dönüşümleri uyarınca,
$K_{0}$ ve $L_{0}$ skalarları gösterecek şekilde inşa edilen iki 4-Vektör $ [K] = (K_{0}, \vec{K} ) $ ve $ [L] = (L_{0}, \vec{L} ) $ nin Minkowski Skalar Çarpımı $[K|L]$ ile gösterilir ve $[K|L] = K_{0}L_{0} - \vec{K} \cdot \vec{L} $ halini alır.
Örnek: Konum $\vec{r}$ ve zamana $\vec{t}$ 4-vektör inşası
Özel Görelilik Uyarınca, Sabit hıza sahip iki gözlemci için $x^2+y^2+z^2= c^2 t^2$ ve $x'^2+y'^2+z'^2= c^2 t'^2$ oluşu, $ c^2 t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2) = c^2 t'^2 - (x'^2+y'^2+z'^2) $ eşitliğini, bu eşitlik de tüm sabit hızlı hareketler için $ c^2 t'^2 - r^2 $ yi değişmez kılar. Bu şekilde skalar $ct$ ile 3 boyulu konum vektörü $\vec{r}$ , $[X] = (ct,\vec{r})$ şeklinde bir uzay-zaman 4-Vektörüne sahip olur.
Maxwell Denklemlerinde (MD) ise değişmezliği sağlamak içinse (MD) belirleyen değişkenleri birbirleriyle 4-Vektör şeklinde yazmak yeterli olacaktır. Doğası gereği (MD) ,
1- Elektrik ve manyetik alanı
2- Yük ve akım yoğunluğu
3- Konum ve zaman türev işlemcilerinden oluşur
Bu 3 ikilinin de Lorentz Sabitleri varsa (MD) de bu dönüşümlerde korunacaktır.
Gilbert Yasası $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 $ da, $ \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ tanımlamanın matematik açısından sakıncasının olmayışıyla, $\vec{A}$ yı Vektör Potansiyeli olarak tanımlarız. Manyetik alana yaptığımız yeni tanımı Faraday Yasasına $\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{A}$ yerleştirip $\vec{\nabla} \times (\vec{E} +\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} ) = 0$ elde edilir. Son çarpımı herhangi skaler alanın türevi cinsinden $\vec{E} +\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} = - \vec{\nabla} (cA_0)$ yazabiliriz. Bu durumda elektrik alan, $\vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} (cA_0)$ halini alır. Bu son elektrik ve manyetik alan tanımlarını, Gauss ve Ampere Yasalarına yazalım.
Gauss $\vec{\nabla} \cdot (- \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} (cA_0)) = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $
Ampere $\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} = \mu_{0} \vec{J} + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial}{\partial t} (- \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} (cA_0)) $
Ampere yasasının biraz toparlarsak,
$ \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} + \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{A} + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} (A_0) = \mu_{0} \vec{J} $
İfadedeki $1.$ ve $4.$ terimin toplamını Lorentz Sabiti ve türevini de sıfır seçerek
$ \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} (A_0) + \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0 $
olur ve elimizde
$ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{A} - \nabla^2 \vec{A} = \mu_{0} \vec{J} $
kalır. Bu son ifadeyi de
$ [ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 ] \vec{A} = \mu_{0} \vec{J} $
Bu elde edilen ifadede, $[ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = (\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t}) (\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t}) - \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} ] $ ne eşit olduğundan türev operatörünün 4-Vektörü, 4- Nabla : $\square = (\dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} , \nabla )$ olarak tanımlanır.
Benzer şekilde, Gauss Yasasında,
$\vec{\nabla} \cdot (- \dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla} (cA_0)) = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $
$ - \nabla^2 (cA_0) - \dfrac{\partial \vec{\nabla} \cdot \vec{A}}{\partial t} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $
Lorentz Değişmez Seçiminden, $ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = - \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} (A_0) $ kullanarak, elimizdeki yasayı
$ - c \nabla^2 A_{0} + \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} A_{0} = \dfrac{1}{\epsilon_{0}} \rho $ den ifadeyi $\dfrac{1}{c}$ ve ifadenin sol kısmına da $\dfrac{\mu_0}{\mu_0}$ operasyonunu yaparsak
$ [\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2] A_{0} = \dfrac{\mu_0}{ c \epsilon_{0} \mu_0} \rho $$
$ [\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2] A_{0} = \mu_0 (c \rho) $$
ifadesini elde ederiz. $(c \rho) \equiv \vec{J_{0}}$ diye tanımlarsak,
$ [\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2] A_{0} = \mu_0 \vec{J_{0}} $$
denklemi,
$ [ \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 ] \vec{A} = \mu_{0} \vec{J} $
vektör alanlarının skaları olur. Böylece, vektör alanları için $[A] = (A_0 , \vec{A})$ ve akım yoğunları
$[J] = (c \rho , \vec{J})$ 4-Vektör olurlar.
Böylece Maxwell Denklemleri
Lorentz Dönüşümlerinin altında değişmez kalır.
Kaynakça
Leonard Eyges, The Classical Electromagnetic Field, Addison-Wesley Publishing Company
Haluk Beker, EMT ders notları, http://www.phys.boun.edu.tr/~beker/wp-content/uploads/2018/12/EM2.pdf