Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu

Metrik uzaylar için yoğunluk şöyle tanımlayabilir mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

"(X,d) bir metrik uzay, Y ve Z, X'in iki alt kümesi olsun.

Eğer ∀ x,y ∈ Y ve x ≠ y için d(x,y)=d(x,z)+d(z,y) ve d(x,z),d(z,y)≠0 olacak şekilde z∈Z varsa Z kümesi, Y'de yoğun denir."

bu tanım olabilir mi acaba?

Akademik Matematik kategorisinde (52 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.6k kez görüntülendi
Yoğunluğun bildiğimiz tanımına denk midir demek istiyorsun değil mi?
(3.7k puan) tarafından 
Evet, ama bildiğimiz tanım sadece sıralı kümeler için geçerlidir.
(52 puan) tarafından 
Yoğunluktan saglamasini istediğin özellik ne, hangi özelliği genellestirmek istiyorsun?
(3.7k puan) tarafından 
benim asıl sorum şöyle, her hangi bir kümede yada uzayda yoğunluğu tanımlayabilir miyiz?
(52 puan) tarafından 
Topolojik uzaylarda tanımlanabiliyor.
(6.2k puan) tarafından 
Şöyle sorayım, bana örnek verebilir misin, öyle bir tanım vereyim ki, şu şunun icinde yoğun olasın, ama bu bunun içinde yoğun olmasın diyeceğin.
(3.7k puan) tarafından 

Anladım sizi hocam, vakit ayırdığınız için teşekkür ederim, aslında ben hala lisan öğrencisiyim yani sadece meraktan sordum,

yani aradığım belli özellikler yoktur.

" f,g R'den R'ye tanımlı iki sürekli fonksiyon için eğer bütün rasiyonel sayılar için f ve g eşit ise f=g olur" bu teorem üzerinde çalışıyordum

 ispatladıktan sonra, acaba R'den değil de herhangi bir küme için nasıl genişleyebiliriz bu teoremi diye sordum kendime.

(52 puan) tarafından 
Teşekkür ederim Doğan Hoca.
Daha fazla detaya girmek için bir kaynak önerebilir misiniz?
(52 puan) tarafından 
Anlıyorum, ben sadece bir tanım yapmak istediğin için düşünmemize önayak olacak sorular sormaya çalışıyorum.

Mesela, yanım yerine yukarıdaki teoremin sağlandığı durumlarda yoğun deseydik, senin taniminla bu yeni tanım aynı şey olur muydu?
(3.7k puan) tarafından 

Her topoloji kitabında yoğun alt küme ev süreklilik tanımları vardır.

Türkçe: Topoloji  İngilizce: Topology

Ama, bu teoremin doğru olması için hedef uzayın topolojisinde bir koşul  (Hausdorff olması) gerekiyor.

(6.2k puan) tarafından 
valla hocam bence benim yaptığım tanım R için yoğunluk tanımı ile denktir, üstelik yukarıdaki teoremi R^n'ye genişlemeye yardımcı olur, siz ne dersiniz?
(52 puan) tarafından 
Çok sağ olun hocam teşekkür ederim.
(52 puan) tarafından 
Bu tanımda 2 tane alt küme var.

Bir de, böyle bir tanıma göre, çok az yoğun küme olurdu. Yoğun olmanın, senin de belirttiğin teoremdeki gibi çok önemli sonuçları var. Bu nedenle, o özelliğe sahip daha çok yoğun alt küme olması iyi olur.

Öneğin Weierstrass ın (kapalı sınırlı aralıklarda) sürekli fonksiyonlar (metrik) uzayında polinomların yoğunluğu çok önemlidir.
(6.2k puan) tarafından 
Sağ olun Doğan Hocam, daha fazla incelemem lazımmış, teşekkürler.
(52 puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
Hocam Bolzano-Weierstrass teoremi R^n uzayına genişletilebilir mi?
(52 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
(6.2k puan) tarafından 
Soğ olun hocam
(52 puan) tarafından 

İlgili sorular

20,274 soru
21,803 cevap
73,475 yorum
2,427,817 kullanıcı