Tam bir çözümünü bulamadığım için yorum eklemek istiyorum.
Gerçel sayılar kümesi üzerinde parçalı olarak tanımlı şu $f$ fonksiyonuna bakalım:
$x<1$ iken $f(x)=2x$ ve $x\geq 1$ iken $f(x)=2x+1$.
Bu $f$ fonksiyonu artandır, $f'(1^+) = 2$ dir ve $f'(1^-) $ yoktur. Bu fonksiyon, tanım kümesindeki her değer için sağdan türevlidir. $x=1$ noktasında soldan türevsizdir. Fonksiyon için başka kritik noktalar da oluşturarak soldan türevsiz olduğu noktaların sayısını artırabiliriz. Hatta sayılabilir sonsuz çoklukta soldan türevsiz nokta olacak biçimde $f$ fonksiyonları kurgulamak zor değildir.
Problem, bizden tanım kümesindeki bütün $x$ gerçel sayıları için soldan türevsiz fonksiyon bulmamızı istiyor. Bunun için mümkün bir örnek bulabileceğimizi sanmıyorum. Bunu ispatlayabilsek ilginç olurdu. Uygun örnek bulunabiliyorsa daha da ilginç olurdu.