çözdüm sanırım ama biraz zahmetli cevabı var. binom açılımını ve varsayımları kullanarak yaptım. muhtemelen daha kolay yolu vardır.
öncelikle n=1 iken sağlandığı açık. o yüzden n>=2 varsayımını yapabiliriz.
genellikten bir şey kaybetmeden, kolaylık olması açısından a>=b varsayımını yapabiliriz.
daha sonra iki tarafın n. kuvvetini alıyoruz. sağ tarafı binom ile açtığımızda ilk terim kesinlikle a iken n'nin teklik ve çiftlik durumuna göre en sondaki terim ya +b ya da -b oluyor.
şimdi de n'nin tek olduğunu varsayalım. sondaki terim -b olacak. karşılıklı a ve b'yi gönderebiliriz. artık göstermemiz gereken şey a ile b arasında kalan terimlerin 0'dan küçük olduğudur.
bunun için de ikinci terimle sondan ikinci terimi, üçüncü terimle sondan üçüncü terimi ve bu şekilde tüm terimleri karşılaştırabiliriz. çift sayıda terim olduğu için karşılaştırma yapılabilir ve karşılaştırma yaparken ortak paranteze alma işlemini yapacağız. bu şekilde ikili olarak terimleri paranteze aldığınızda, tüm terimler negatif çıkacaktır. bu da 0'dan küçük olduğunu gösterecek.
şimdi n'nin çift olduğunu varsayalım. sondaki teri +b olacaktır. yine götürme işlemini yaptıktan sonra 2b'nin arada kalan terimlerden küçük olduğunu göstermemiz gerekecek. bu sefer tek sayıda terimimiz var. bunda da -ortak çarpan parantezine aldığınızda daha rahat görürsünüz- tam ortadaki terim 2 kök ab oluyor. aynı zamanda kalan terimlerin toplamı da pozitif oluyor. a>=b varsayımını yaptığımız için 2 kök ab'nin 2b'den büyük olduğunu rahatlıkla kanıtlayabiliriz.
sonuç olarak iki durumda da eşitsizliğin sağlandığını gösterebiliriz.
cevabın çok açık olmadığının farkındayım ama söylediklerimi kağıda yazarak, ve biraz uğraşarak çözebileceğinizi düşünüyorum.