Kısmi diferansiyel denklemlerde başlangıç değer problemleri

Question

başlangıç değer problemini çözünüz diyor.

$u_{tt}-c^2u_{xx}=0$

Latexle yazmayı çok fazla bilmiyorum işlemlerini paylaşmak istiyorum ama yazamıyorum çok üzgünüm.ama şöyle bişey buldum.Yani en son buraya kadar gelebildim.Doğruluğundanda çok fazla emin değilim.

$$\dfrac{ln(1+x^2-2xct+c^2t^2)+ln(1+x^2+2xct+c^2t^2)}{2}+\dfrac{1}{2c}\large\displaystyle\int_{x-ct}^{x+ct}2d\varepsilon +\dfrac{1}{2c}\large\displaystyle\int_{0}^{t}\large\displaystyle\int_{x-ct+c\zeta}^{x+ct-c\zeta}\varepsilon d\varepsilon d\zeta$$

 

 

 

 

Comments

$\LaTeX$ kullanırken (kod) değil normal yazı gibi (sadece başta ve sonda dolar işareti olacak) yazmalısınız.

---

Yani kod parçacığının başı ve sonunda dolar işareti  yazmalıyım doğru mu anladım?

---

Evet (ama kod ortamında değil Normal yazıyormuş gibi)

---

Tamam anladım teşekkür ederim.uygulayacağım

---

D'Alambert çözümünü uygulamışsınız sanırım. İlk terimden sonrasındaki integrallere dikkat ediniz. Neden iki integral var? İntegrantları neden böyle? D'Alambert formülüne göre son ifadedeki integral $$\int\limits_{x-ct}^{x+ct}u_t(\xi, 0)\,d\xi$$ olmalı değil mi?

---

Sadece integralin biri fazladan yazmışım kusura bakmayın.D'Alamert formülü olduğunu bilmiyordum onun için teşekkür ederim.Dediğiniz gibi iki katlı integral olması gerekiyordu.Hemen düzenliyorum

---

Dikkat edeseniz sizin verdiğiniz problem homojen. Dolayısıyla son integralin integrandı sıfır oluyor ve son terim yok oluyor demektir, değil mi? İntegrantlara yine de dikkat ediniz.

---

O zaman son integral sıfır olunca kalan integrali alıcam.Sonuç ordan çıkıyor mu?Doğru mu anladım

---

Yani

$

\eta

$
ya göre integral sıfır olacağından sondaki çift katlı integral sıfır oluyor.Anladım çok teşekkür ederim 

---

Rica ederim.

İlk integral ne olacak peki? İntegrantta $2\varepsilon$ var fakat d'Alembert formülüne göre yalnızca $u_t(x,0)=2$ olmalıdır; değil mi?

---

O zaman ilk integral 8t mi oluyor?

---

Bide ilerlediğim kısma kadar doğru mu yaptım onuda bilmiyorum

---

İntegralin sınırlarında  $x\pm ct$ olmayacak mı? Birimlerin de uyumlu olması lazım. O zaman integralin sonucu $8t$ olmaz, $8ct$ olmalıdır.

Toparlarsanız doğru olacak. Bir de formüllerdeki noktaları silerseniz daha güzel görünecektir.

---

İntegralin sınırları ama x-2t ve x+2t

---

Onu siz öyle yazmışsınız ama :)

Aaa evet; neden öyle yazdığınızı şimdi anladım... $u_t(x,0)=2$ diye sanırım. Fakat, dikkat ediniz, burada $u_t$ dalganın hızı değildir. Bir ortamda dalga ilerlerken parçacıklar da hareket ederler. Örneğin, buradaki gibi bir boyutlu dalga probleminde, $x$ konumundaki parçacık, $t$ anında denge seviyesinden $u(x,t)$ kadar yüksektedir ve hızı $u_t(x,t)$'dir. Bu modelde $c$ dalganın hızı, $u_t$ ise parçacıkların hızıdır: $u_t\not=c$. Dolayısıyla $c\not=2$. Doğru anlamış mıyım acaba?

---

Fazla teorik geldi bir anda :)

ayrıca düzenleyim derken dahada kötü yaptım soruyu.çok üzgünümm.O halde benim o kısmı 2 değilde c olarak almam gerekiyor

---

İntegralin aralığını sizin dediğiniz gibi x-ct ve x+ct olarak aldığımda -2xt oluyor

---

varepsilon ve d arasında boşluk koyarsanız düzelebilir. 

Biraz karışık gelmiş olabilir. Ama fiziksel temeli böyledir.

---

Tamam teşekkür ederim.Ama benim için güzel bir bilgi oldu yoksa bütün sorularda aynı hatayı yapacaktım.Teşşekür ederim.İlk integraldede -2xt buldum.Doğru mudur acaba?

---

$$\frac{1}{2c}\int\limits_{x-ct}^{x+ct}2\,d\xi=2t$$ bulunur. Siz de işlemlerinizi toparlayıp cevap şeklinde yazarsanız neler yaptığınızı daha iyi anlarız.

---

Tamam latexle düzenleyip cevap şrklinde yazarım ama sonuç -2t olması gerekmiyor mu?Yani 2(x-ct-x-ct)=-2t oluyorda

---

Bide son integralde 2.integralin sınırları x-ct-cZ ve x+ct+cZ mi oluyor?

---

Bide son integralde 2.integralin sınırları x-ct-cZ ve x+ct+cZ mi oluyor?Emin olamadımda

---

$cz$ lerin işaretleri ters olmalı sanırım. Ama unutmayın, denklem homojen olduğundan, integral sıfır verecek.

---

Neden 2.integralin 0geldiğini pek anlıyamadım.Denklem Homojen olduğundan diyorsunuz ama diğer integral 0gelmiyor

---

Ya bu denklem ama homojen bir denklem.Biz sanki homojen olmayan denklemlerdeki gibi çözdük

---

$F(x,t)=0$ olduğundan çift katlı integral sıfır oluyor. Yani homojen dalga denkleminde çift katlı integral terimi yok oluyor.

D'Alambert formülü, homojen/inhomojen olsun, bir boyutlu dalga denkleminin çözümünü verir.

---

Tamamdır teşekkür ederim

Answer 1

$f(x)=\ln(1+x^2)$

$g(x)=2,\quad F(x,t)=0$

 

$u(x,t)=\dfrac{\ln(1+x^2- 2xct+c^2 t^2)+\ln(1+x^2+2xct+c^2 t^2)}{2}+\dfrac{1}{2c}\large\displaystyle\int_{x-ct}^{x+ct}2d\varepsilon+\dfrac{1}{2c}\large\displaystyle\int_{0}^{t}\large\displaystyle\int_{x-ct+c\zeta}^{x+ct-c\zeta}0 d\varepsilon d\zeta$

$=\dfrac{\ln(1+x^2-2xct+c^2 t^2)+\ln(1+x^2+2xct+c^2 t^2}{2}-2t$

Comments

Son ifadede integralde $\varepsilon$ nereden geliyor anlamadım. Israrla yazmaya devam ediyorsunuz. Son denklem doğru ama ikinci integralde $F=0$ olacak, $\varepsilon$ değil.

---

Israrla yazmak değil sadece zorlanıyorum ve bazen çok saçma şeyler çıkabiliyor ortaya.Üzgünüm.  2.integralde 0 yazıyorum.

---

Üzülecek birşey yok; eğer kırdıysam kusuruma bakmayın.

Çözümünüze d'Alembert formülünün genel haliyle başlayıp adım adım gitmiş olsaydınız muhtemelen hatalar asgari düzeye inecekti. (Bence d'Alembert formülünün türetimi başka bir problemin konusudur).

ln lerin başına da "\" işareti koyarsanız, daha güzel olur.

---

Tamamdır.Teşekkür ederim.