u(0,t)=X(0)T(t)=0
u(1,t)=X(1)T(t)=0
buradan X(0)=0 ve X(1)=0 buldum.
i)k=0 için
$$m^2=0$$ , $$m_{1,2}=0$$
$$X(x)=c_{1}e^0+xc_{2}e^0$$
$$c_{1}+xc_{2}=X(x)$$
$$X(0)=c_{1}+0c_{2}=0$$
olduğundan buradan $$c_{1}=0$$ olur.
$$X(1)=c_{1}+1c_{2}=0$$
buradan ise $$c_{2}=0$$
ii)k>0 için ise $$m=-+\sqrt{k}$$
$$X(0)=c_{1}+c_{2}=0$$
$$X(1)=c_{1}e^\sqart{k}+c_{2}e^\sqart{k}$$
burdan determinant alınca 0 a eşit değil çıkıyor.
İii)k<0 için
$$m^2=-k$$ , $$m_{1,2}=-+i\sqrt{k}$$
$$X(x)=c_{1}cos\sqrt{k}x+c_{2}sin\sqrt{k}x$$ , $$X(0)=c_{1}=0$$
$$X(1)=c_{2}sin\sqrt{k}=0$$
$$c_{2}=0$$ , $$X(x)=0$$
$$c_{2}\neq0$$ , $$\sqrt{k}=0+n\pi$$
$$k=n^2\pi^2$$ , $$m=-+n\pi i$$
$$T(t)=Acosn\pi t+Bsinn\pi t$$
u(x,t)=X(x)T(t)
$$=c_{n}sinn\pi x[Acosn\pi t+Bsinn\pi t]$$
en sondaki işlemin başına n=1 den sonsuza olarak toplam sembolü koymam gerekiyor ama latexle nasıl yazıldığını bilmiyorum.Sonuç olarak bunu buldum.Doğru mu acaba?