Kompakt bir uzayın her açık alt kümesi kompakt olabilir mi ?

Question

Dersimizde , kompakt bir uzayın her kapalı alt kümesinin kompakt olduğunu gösterdik.Benim aklımada şöyle bir soru geldi Kompakt bir uzayın her açık alt kümesi kompakt olabilir mi ? Ama düşüncem şu ki aradığımız cevap hayır değildir olmalı çünkü eğer olsaydı gösterdiğimiz teorem 'kompakt bir uzayın her kapalı alt kümesinin kompakttır.' demek yerine 'Kompakt bir uzayın alt kümeleride kompakttır derdik.'

Ters örnek vermemiz gerek olduğunu düşünüyorum.

Answer 1

Özel durumlarda olabilir. Mesela sonlu topolojik uzaylar kompakttır ve sonlu topolojik uzayların açık her altkümesi de kompakttır. Ancak her kompakt topolojik uzayın her açık altkümesi kompakt olmak zorunda değildir. $\mathbb{R}$'nin $[0,1]$ altuzayını ele alalım. $[0,1]$ altuzayı kompakttır fakat bu uzayın $[=,1]$'den farklı her açık altkümesi kompakt değildir.

Comments

hocam sizin verdiğiniz bilgiyi kullanarak ben $[1,2]$ altuzayını ele aldım ve bunun kompakt olduğunu biliyoruz.

$[ 1,\dfrac {3}{2})$ altkümesi, $[1,2]$ de açık kümedir. $\left( 0,\dfrac {3}{2}\right) \cap \left[ 1,2\right] =[ 1,\dfrac {3}{2}) $

$[ 1,\dfrac {3}{2})$ açıktır ama kompakt değildir.

---

Evet doğru. Ben de farklı bir şey söylemedim ki.