Yumurta atma sorusu

Question

36 katlı bir binanın katlarından aşağı yumurta atarak, kaçıncı kattan sonra yumurtanın kırılacağını belirlemek istiyoruz. Ama bunu en az denemeyle yapmak istiyoruz. Zemin katı boşverelim, yani en alt kat 1. kat olsun. Elimizde bir tane yumurta varsa taktik belli. Önce birinci kattan atarız, kırılmadıysa ikinci kattan atarız, bu şekilde  yumurta kırılana kadar (ya da 36. kata kadar) gideriz, böylece ilk ne zaman kırıldığını (ya da hiç kırılmadığını) buluruz. En kötü ihtimalle 36 deneme yaparız.

Şimdi elimizde deney yapabileceğimiz iki yumurta olsun. Hangi kattan atınca yumurtanın kırılacağından, hangi kattan atınca kırılmayacağından emin olabilmemiz için en az kaç deneme yapmamız gerekir?

Şunlar her zaman doğru:

• Bir yumurta herhangi bir kattan atınca kırılmadıysa tekrar kullanabiliriz. Kırıldıysa bir daha kullanamayız.
• Yumurtalar birbirinin aynısı. Yani herhangi bir kattan atınca kırılıp kırılmama durumu yumurtaya göre değişmiyor.
• Bir yumurta, herhangi bir kattan atınca kırıldıysa, daha yukarı katlardan atınca da kırılır.
• Bir yumurta, herhangi bir kattan atınca kırılmadıysa, daha aşağı katlardan atınca da kırılmaz.

Comments

1. Yumurtayı orta kattan atsak, kırıldıysa 1. den başlayıp alttaki katları deneyelim. Kırılmaz ise sıra ile üst katları deneriz. Yarıdan 1 fazla denemede buluruz.

---

Daha iyi bir çözüm var.

---

12 ncı kattan atalım, kırılmaz ise 24. Katı deneme şeklinde olmalı.

---

İkisinde de kırılmazsa 24-36 arasını tek tek mi deneyeceğiz? Bunun için tek yumurta yeter, ama burada iki yumurta var. Yani elde fazladan malzeme kaldı, mezara mı götüreceğiz onu:)

---

Amaç yumurtaların hangi katta kırılacağını bulmak.

Kırılmayanları pişirip yeriz.

Answer 1

En çok 8 denemede mümkün.  (36=1+2+3+4+5+6+7+8 oluşundan)

Önce birinci yumurta 8. kattan atılır.

Kırılırsa ilk 7 kat sırayla denenir en çok 7 deneme daha toplam 8 deneme

8. katta kırılmaz ise 15(=8+7) inci kattan atlır. Kırılırsa diğer yumurta ara katlarda (6 tane) denenir toplam 8deneme

15. katta kırılmaz ise  21 (=8+7+6) inci kattan atılır . Kırılırsa diğer yumurta ele en çok 5 denemede bulunur toplam. 8 deneme

Kırılmaz ise 26 (=8+7+6+5) ncı kattan atılır . Kırılırsa diğer yumurta ile en çok 4 denemede bulunur. toplam 8 deneme.

.

 

30 uncu, 33 üncü 35. ve 36. katlarda denenir.

Soru  tüm üçgensel sayılarda benzer şekilde çözülür.

Comments

Evet, ben de aynı çözümü buldum ama Excel kullandım.

Answer 2

36 yerine $n$ katlı bina alalım. $a_n$, en iyi çözüm olsun. Formül şöyle: $a_0 = 0$ ve her $n$ doğal sayısı için
$$a_n = \min_{k=1}^n \max\{k, 1+a_{n-k}\}.$$
Excel'de hesaplayınca $a_{36}=8$ bulunuyor. Hatta strateji de belli oluyor.
Birinci yumurta kırıldığında 1'inci kata in, kırılmazsa sırasıyla 8, 15, 21, 26, 30, 33, 35 ve 36'ıncı katlara çık. Ve bu strateji yegâne strateji. Eğer hesaplarda hata yapmamışsam tabii. (Çok hata yaparım!)

Sonradan eklenmiş not: Doğan Hoca çok daha güzel bir çözüm bulmuş. Doğan Hoca'nın cevabından
$$a_n = \min\{k : 1 + 2 + \cdots + k \geq n\}$$
olduğu anlaşılıyor. Üçgensel sayılarda strateji biricik, diğer sayılarda 1'den fazla strateji var.

Comments

Doğan Hoca çok daha güzel bir çözüm bulmuş.

---

Doğru anladıysam, $a_n=\min\limits_{k=1}^n \max \{k,1+a_{n-k}\}$ olmayacak mı?

---

Teşekkürler...

Answer 3

Duzeltme:  En az 10 deneme mumkun.  https://app.creately.com/diagram/qyNQD5UEkN3/edit

 

 

 

En az 11 deneme mumkun.

 

https://app.creately.com/diagram/qyNQD5UEkN3/edit