$\displaystyle\int{\dfrac{\ln(1-t)}{2t}}dt$ integralini merkezi $t=0$'da olacak şekilde kuvvet serisi olarak ifade ediniz. İlk beş terimi bulunuz.

Question

İlk başta ifadenin türevini alıp integralden kurtuldum. $ln(1-t)$'nin seri olarak ifadesi $\displaystyle\sum{\dfrac{-t^n}{n}}$ olduğunu biliyorum. $\dfrac{1}{2t}$'yi de sabit gibi düşünüp toplamın dışına attım. Sonuç olarak $-\dfrac{1}{2t}\displaystyle\sum{\dfrac{-t^n}{n}}$ elde ettim. Doğru bir yol takip ediyor muyum? Bundan sonra ne  yapmam gerekiyor?

 

$\displaystyle\int \frac{\ln(1-t)}{2 t}\, dt = \int\frac{\dfrac{d}{dt}\displaystyle\int\ln(1-t)\, dt}{2 t}\, dt = \int\dfrac{\dfrac{d}{dt}\displaystyle\dfrac{-1}{1-t}}{2 t}\, dt = \int\dfrac{\dfrac{d}{dt}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} -t^n}{2 t}\, dt = \displaystyle\int\dfrac{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} -nt^{n-1}}{2t}\, dt$

(ilk terim 0 olacağı için seriyi $n=1$'den başlatabiliriz.)

$\displaystyle\int\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{-n}{2}t^{n-2}\, dt = \dfrac{-1}{2} ln{|t|} + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{-n}{2}\dfrac{t^{n-1}}{n-1}$

Comments

Etiket olarak "Taylor serisi" yazmışsın ama yaptığın şeyler arasında Taylor serisi katsayıları gözükmüyor?

---

Ben olsam once $\ln(1-t)$ seri olarak yazarim sonra her iki tarafi $2t$'ye boldukten sonra  her iki tarafin integralini alirim. Suna bir bak istersen link

---

Düzeltme:

Sonsuz toplamda indis hangi sayıdan başlıyor?

Answer 1

$\displaystyle\ln(1-t)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{-t^n}{n}$ verilsin. Veya surda kutu icinde gosterimi var. O zaman

$\displaystyle\dfrac{\ln(1-t)}{2t}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{-t^n}{2tn}\implies\int\dfrac{\ln(1-t)}{2t}dt=\int\sum_{n=1}^\infty\dfrac{-t^n}{2tn}dt=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{-1}{2n}\int t^{n-1}dt=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{-1}{2n}\dfrac{t^n}{n}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{-t^n}{2n^2}$