Problemdeki etiketlere bakarak, soyut cebir yöntemleriyle bir çözüm kurgulandığını düşündürüyor. Ben elemanter sayılar teorisi yöntemleri ile çözüm vereceğim. Önce bir lemma ispatlayalım:
Lemma: $n$ bir pozitif tam sayı ve $\sqrt{n}$ bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda $\sqrt{n}$ bir tam sayıdır. Diğer bir deyişle $n$ bir tam karedir.
İspat: $a,b$ pozitif tam sayılar ve $(a,b)=1$ olmak üzere $\sqrt{n}=\dfrac{a}{b}$ biçiminde yazılmış olsun. Kare alırsak $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ olur. Fakat $(a^2, b^2)=1$ olduğundan $n=\dfrac{a^2}{b^2}$ kesri indirgenemez (daha fazla sadeleşemez) biçimdedir. Öte yandan $n$ bir tam sayı olduğundan $b=1$ olmalıdır. Böylece $n=a^2$ biçiminde tam kare bir tam sayıdır.
Şimdi ana probleme bakalım. $n$ tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise $m^2 < n <(m+1)^2$ olacak biçimde bir $m$ pozitif tam sayısı vardır. Karekök alırsak, $m<\sqrt{n}<m+1$ olur. Ardışık iki tam sayının arasında başka bir tam sayı olamayacağından $\sqrt{n}$ bir tam sayı değildir. $\sqrt{n}$ sayısı rasyonel sayı da olamaz. Çünkü $\sqrt{n}$ rasyonel sayı olsaydı ispatladığımız Lemma'ya göre $\sqrt{n}$ bir tam sayı oluyordu ve bir çelişki elde ederdik. Sonuç olarak $\sqrt{n}$ sayısı irrasyoneldir.