Teorem: Cebirsel iki sayının toplamı cebirseldir.
Bu teoremi kanıtlamak istiyoruz. Bunun için cisim teorisi, cisim genişlemeleri gibi konuları bilmek gerekiyor mu?
Yoksa benim gibi teoriyi bilmeden de durumu kurtarabilecek bir yol var mı? Örneğin; $a$, $b$ iki cebirsel sayı olsun. Bunların cebirsel olmasını sağlayan uygun tam sayı katsayılı polinomlar sırasıyla $P(x)$, $Q(x)$ olmak üzere $P(a)=0$, $Q(b)=0$ dır. $a+b$ nin cebirsel olduğunu gösteren polinomu basitçe $P$, $Q$ türünden ifade edebiliyor muyuz? Yani $a+b$ sayısını $P(x)Q(x)-P(x)-Q(x)$ gibi bir polinomun kökü olarak yazabilirsek problem çözülecektir.
Şunlar kolay, $a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt[3]{2}$ sayıları sırasıyla $P(x)=x^2$, $Q(x)=x^3-2$ polinomarının kökleri olduğundan $a$, $b$ cebirseldir. $a+b=\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} $ sayısı da $R(x)= x^6 - 6 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 - 24 x - 4 $ polinomunun kökü olduğundan cebirseldir. $x=\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} $ için $(x-\sqrt{2})^3 =2$ yazarak ilerleyebiliyor ve $R(x)$ polinomunu üretebiliyoruz.
Bu soru şuradan aklıma takıldı: Niven Teoremi ispatlanırken arada $a+b$ toplamının cebirselliği de kullanılıyor. $q\in \mathbb Z^+$ olmak üzere $1$'in $2q$-inci köklerinden ikisinin toplamının da baş katsayısı $1$ olan tam sayı katsayılı bir polinomun kökü olacağı şeklinde kabul edilebilir bir his oluşmuştu bende. Sonra Murphy'nin şu kanununu düşündüm: Çözülen her problem yeni problemler yaratır.