İntegral için ikinci ortalama değer formülü:
$h$ ve $g$ fonksiyonları $\left[ a,b\right] $ de sürekli ve $h$ monoton ise,
$\int_{a}^{b}g\left( t\right) h\left( t\right) dt=h\left( a\right)\int_{a}^{c}g\left( t\right) dt+h\left( b\right) \int_{c}^{b}g\left(t\right) dt$ (1)
eşitliği sağlanacak biçimde $c\in \left( a,b\right) $ sayısı vardır.
Verilen problemdeki $\varphi $ fonksiyonu için $\varphi ^{^{\prime \prime }}$ nün sürekli ve sıfırdan farklı olduğu koşulundan, bu $\varphi ^{^{\prime \prime }}$ fonksiyonunun tüm $\left[ a,b\right] $ de ya pozitif ya da negatif olduğu çıkar. O halde $\varphi ^{^{\prime }}$ fonksiyonu ya kesin artandır ya da kesin azalandır (yani kesin monotondur).
Şimdi,
$\int_{a}^{b}\sin \varphi \left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\sin \varphi \left(t\right) .\varphi ^{^{\prime }}\left( t\right) .\frac{1}{\varphi ^{^{\prime}}\left( t\right) }dt$
(1) i kullanırsak
$\int_{a}^{b}\sin \varphi \left( t\right) dt=\frac{1}{\varphi ^{^{\prime}}\left( a\right) }\int_{a}^{c}\sin \varphi \left( t\right) .\varphi^{^{\prime }}\left( t\right) dt+\frac{1}{\varphi ^{^{\prime }}\left(b\right) }\int_{c}^{b}\sin \varphi \left( t\right) .\varphi ^{^{\prime}}\left( t\right) dt$
$=\frac{1}{\varphi ^{^{\prime }}\left( a\right) }\left( \cos \varphi \left(a\right) -\cos \varphi \left( c\right) \right) +\frac{1}{\varphi ^{^{\prime}}\left( b\right) }\left( \cos \varphi \left( c\right) -\cos \varphi \left(b\right) \right) $
sonuncu eşitlikten,
$\left\vert \int_{a}^{b}\sin \varphi \left( t\right) dt\right\vert \leq\frac{2}{\varphi ^{^{\prime }}\left( a\right) }+\frac{2}{\varphi ^{^{\prime}}\left( b\right) }\leq \frac{2}{m}+\frac{2}{m}=\frac{4}{m}$ elde edilir.