1955-56 yılında İTÜ giriş sınav sorusu

Question

$FF'$  odaklar uzaklığı $2c$ ve kesen eksen uzunluğu $2a$ olan bir hiperbolün $F$ odağına ,komşu bulunan kolu üzerinde bir $M$ noktası alınıyor. $MF'F=\alpha$,  $MFF'=\beta$  olsun.

I) $tan\frac{\alpha}{2}=\frac{c+a}{c-a}.tan\frac{\beta}{2}$ bağıntısını ispat ediniz.

II) $M$ noktası hiperbolü çizerken  $MFF'$ üçgeninin iç teğet dairesinin merkezinin geometrik yerini bulunuz.

Comments

Verilenlerden  $\beta>\alpha$ olduğu dolayısıyla $tan\frac{\beta}{2}>tan\frac{\alpha}{2}$ açıktır.  Dolayısıyla  büyük olan tarafı $\frac{c+a}{c-a}>1$ olan bir sayı ile çarpınca eşitlik mümkün olmaz.Aksine eşitsizlik daha da kuvvetlenir. Sorunun bu yönü ile (Wathsapptan gönderildiği mesajdan tekrar kontrol ettim) hatalı olduğunu düşünüyorum. Yaptığım çözümde de sonuç $tan\frac{\beta}{2}=\frac{c+a}{c-a}tan\frac{\alpha}{2}$ olarak çıktı. Çözümde herhangi bir işlem hatası da göremedim.

Answer 1

Sorunun ilk şıkkının çözümü:

$MFF'$ üçgeninde sinüs teoreminden;

$\frac{|MF'|}{sin\beta}=\frac{|MF|}{sin\alpha}=\frac{|FF'|}{sin(180-(\beta+\alpha))}$

$|FF'|=2c, \quad  sin(180-(\beta+\alpha))=sin(\beta+\alpha)$ oldukları kullanılarak

$|MF'|=\frac{2c.sin\beta}{sin(\beta+\alpha)}$,   $|MF|=\frac{2c.sin\alpha}{sin(\beta+\alpha)}$ olur.  Öte yandan $|MF'|-|MF|=2a$ olduğundan,

$|MF'|-|MF|=\frac{2c.sin\beta}{sin(\beta+\alpha)}-\frac{2c.sin\alpha}{sin(\beta+\alpha)}=2a$

$\frac{c.(sin\beta-sin\alpha)}{sin(\beta+\alpha)}=a$

$\frac{2csin(\frac{\beta-\alpha}{2})cos(\frac{\beta+\alpha}{2})}{2sin\frac{\beta+\alpha}{2}cos\frac{\beta+\alpha}{2}}=a$

$\frac{sin\frac{\beta-\alpha}{2}}{sin\frac{\beta+\alpha}{2}}=\frac ac$  orantı özelliklerinden,

$\frac{ sin\frac{\beta-\alpha}{2}+sin\frac{\beta+\alpha}{2}}{sin\frac{\beta+\alpha}{2}-sin\frac{\beta-\alpha}{2}}=\frac{c+ a}{c-a}$

Bu son eşitliğin sol tarafınının pay ve paydasına ters trigonometrik dönüşümler uygulanırsa,

$\frac{sin\left[\frac{\frac{\beta-\alpha}{2}+\frac{\beta+\alpha}{2}}{2}\right]cos\left[\frac{\frac{\beta-\alpha}{2}-\frac{\beta+\alpha}{2}}{2}\right]}{sin\left[\frac{\frac{\beta-\alpha}{2}-\frac{\beta+\alpha}{2}}{2}\right]cos\left[\frac{\frac{\beta-\alpha}{2}+\frac{\beta+\alpha}{2}}{2}\right]}=\frac{c+a}{c-a}$

$\frac{sin\frac{\beta}{2}.cos(-\frac{\alpha}{2})}{sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}}=\frac{c+a}{c-a}$ olur.

$cos(-\frac{\alpha}{2})=cos\frac{\alpha}{2}$ olduğu kullanılırsa

$tan\frac{\beta}{2}.cot\frac{\alpha}{2}=\frac{c+a}{c-a}\Rightarrow tan\frac{\beta}{2}=\frac{c+a}{c-a}.tan\frac{\alpha}{2}$  eşitliği bulunur.

Sorunun ikinci şıkkının çözümü.

Bir üçgende, iç teğet çemberinin merkezi,o üçgenin iç açı ortaylarının kesim noktasıdır. Bu sebeple $MFF'$ üçgeninin  $MF'F$ açısının iç açı ortayı olan $y=tan(\alpha/2)(x+c)$  doğrusu ile, $MFF'$ açısının iç açı ortayı olan $y=-tan(\beta/2)$ doğrusunun kesim noktası  bizim aradığımız çemberin merkezidir.

$tan(\alpha/2)(x+c)=-tan(\beta/2)(x-c)$

$\frac{-tan(\beta/2)}{tan(\alpha/2)}=\frac{x+c}{x-c}$  olur. sorunun ilk kısmında bulunan eşitlik kullanılırsa $\frac{c+a}{a-c}=\frac{x+c}{x-c}\Rightarrow x=a$ bulunur. Demek ki çemberin merkezinin geometrik yeri $x=a$ doğrusudur.

Comments

orantı ters olmuş. o kısım neyse ama 

"Bu son eşitliğin sol tarafınının pay ve paydasına ters trigonometrik dönüşümler uygulanırsa,"

 

şu cümleden sonraki ilk işlemde  paydada -(eksi) işareti olması gerekiyor