Güzel bir soru.
$\dfrac{|BD|}{|BC|}=\lambda,\ \dfrac{|AF|}{|AB|}=\mu,\ \dfrac{|CE|}{|CA|}=\delta$ diyelim.
$0<\lambda,\mu,\delta<1$ dir ve alan oranlarından,
$\dfrac{\text{Alan}(BFD)}{\text{Alan}(ABC)}=\lambda(1-\mu)$ den, $\lambda(1-\mu)=\dfrac14$ olur.
Benzer şekilde,
$\mu(1-\delta)=\delta(1-\lambda)=\dfrac14$ olur.
Bunlar taraf tarafa çarpılıp düzenlenirse:
$\lambda(1-\lambda)\mu(1-\mu)\delta(1-\delta)=\dfrac1{64}$ elde edilir.
Diğer taraftan Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliğinden (veya ikinci derece polinomların özellikleri kullanılarak):
$\lambda(1-\lambda)\leq\frac14$ ve eşitlik sadece $\lambda=\frac12$ iken sağlanır. Aynı nedenle
$\mu(1-\mu)\leq\frac14$ ve eşitlik sadece $\mu=\frac12$ iken sağlanır ve
$\delta(1-\delta)\leq\frac14$ ve eşitlik sadece $\delta=\frac12$ iken sağlanır.
Bu nedenle, $\lambda(1-\lambda)\mu(1-\mu)\delta(1-\delta)=\dfrac1{64}$ oluşundan,
$\lambda(1-\lambda)=\frac14,\quad \mu(1-\mu)=\frac14$ ve $\delta(1-\delta)=\frac14$ olmak zorundadır.
Bu nedenle,
$\lambda=\mu=\delta=\frac12$ olmak zorundadır.
Bu da, $D,E,F$ nin $ABC$ üçgeninin kenarlarının orta noktaları olmaları demektir.
(Edit: Biraz daha açıklama ekledim)