$\dfrac{a+2}{a-1}=\dfrac{a+4}{a-3}$ ifadesi

Question

Öncelikle selamın aleyküm herkesin kurban bayramı mübarek olsun benim bı sorum var yardımcı olursanız çok sevinirim

$\dfrac{a+2}{a-1}=\dfrac{a+4}{a-3}$ böyle bir ifadedede normal denklem çözer gibi veya içler dışlar çarpımı yapılarak çözülebilir

Fakat oran-oranti ile çözmeye çalıştım takıldım

$a+2=a.k+4.k$

$a-1=a.k-3.k$

Burda 2. Denklemde k yı bulup bulduğumuz k yı 1.denklemde yerine yazdığımızda a yi bulmamız gerek fakat k nin yalnız kalması için a lari eşitliğin diğer tarafına atmamız lazım fakat 3k da a çarpanı yok a yi ne ile carparsam yine 3k yi verir diye düşünüyorum o yüzden ifadeyi yani 3k yi a ile çarpıp a ya boluyorum

$a-1=a.k-3.k.\dfrac{a}{a}$ sonra carpim durumunda  olan a lari cekiyorum yani eşitliğin diğer tarafına atıyorum oda şöyle oluyor

$\dfrac{a-1}{a}$$=k-$$\dfrac{3k}{a}$ fakat burda k lari yalnız bırakayım derken aslında kısır bı döngüye girmiş oluyorum

Eşitliğin sağ tarafındaki $\dfrac{a-1}{a}$ =$k-\dfrac{3k}{a}$  ifadede paydayi esitledigimde yine ilk baştaki denklem geliyor ve bu döngünün içinden cikamiyorum

$\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{a.k-3k}{a}$ oda eşitliğin 2 tarafindaki paydalarda a olduğu ve eşit olduğu için bir birini götürüyor elimizde yine $a-1=a.k-3.k$ kalıyor buranın mantığı nedir yardımcı olursanız sevinirim hocalarim bana yardımcı olun lutfen.

Answer 1

$a-1=ak-3k$ ifadesinden $k$'yı yalnız bırakmaya çalışıyorsunuz diye anlıyorum. $a-1=k(a-3)$ olup $k=\dfrac{a-1}{a-3}$ elde edersiniz. Bunu da alıp $a+2=(a+4)k$ ilk denkleminizde yazarsanız $$a+2 = (a+4)\dfrac{a-1}{a-3} $$ biçiminde yalnız $a$'ya bağlı denklem elde etmiş olursunuz. Yapılanlar yanlış değil fakat başlangıç denklemine göre pek bir ilerleme sağlamamış oluruz.

 

$a-1=ak-3k$ ifadesinden $a$'yı yalnız bırakmaya çalırsak $3k-1=a(k-1)$ olup $a=\dfrac{3k-1}{k-1}$ bulunur. Bunu da alıp $a+2=(a+4)k$ ilk denkleminizde yazarsanız bu defa da $k$'ya bağlı ikinci dereceden bir denklem bulmuş oluruz. Yine yapılanlar yanlış olmamakla beraber, başlangıç denklemine göre daha sade bir şey elde etmiş değiliz.

 

Matematik eğitiminde bunlara faydasız mekanik işlemler gibi bir isim veriliyordu sanırım. Bunun üzerine birkaç makale okumuştum. Deney yapılan öğrencilerden bazıları $ \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ ifadesinden $ \dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ yazıyorlar ama bir türlü ilerleyemiyorlardı.

Comments

Lokman hocam öncelikle Allah razı olsun cevapladiginiz için

Peki hocam

$a-1=a.k-3.k$ ifadesinden $k$ nın yalnız kalması için $a$ ları çekmemiz lazım 3.k da a çarpanı yok o zaman a ile çarpıp a ya bölerek ifade şöyle oluyor $a-1=a.k-3.k\dfrac{a}{a}$

Burdan $a$ çarpanlarını esitligin sol tarafina atınca $\dfrac{a-1}{a}=k-\dfrac{3k}{a}$ oluyor burdan sonra ifade ilk baştaki denkleme geri dönüyor k yi diğer tarafa çekince dediginiz gibi oluyor fakat k lari o taraftaki eşitlikte yalnız bırakıp a lari eşitliğin sol tarafına attigimizda neden kısır döngü gibi ilk denklem ilk haline dönüyor hocam neden a carpanlarini eşitliğin sol tarafına atamiyoruz Lokman hocam

Birde hocam aslında a carpanlarinida çektiğimiz zaman aslında k yi yalnız bırakmış olmuyormuyuz

---

Mesela $4.x+2=14$ diyelim burda x i diğer tarafa bölü olarak atmak için +2 dede x i aramalıyız x yok o yüzden x ile çarpıp x e bölmemiz gerek yani şöyle

$4.x+\dfrac{2.x}{x}$=14 şimdi çarpım durumunda olan x leri bölü olarak çekebiliriz

x leri eşitliğin karşısına bölü olarak atınca

$4+\dfrac{2}{x}=\dfrac{14}{x}$ burdanda eşitliğin sol tarafında payda esitlersek

$\dfrac{4x+2}{x}=\dfrac{14}{x}$ burda eşitliğin sol tarafındaki paydadaki x i çarpım olarak eşitliğin sağ tarafına atarsak ifade şöyle oluyor

$4x+2=x.\dfrac{14}{x}$ eşitliğin sağ tarafındaki x ler sadelesiyor

$4x+2=14$ oluyor $4x=12$ den $x=3$ BURDA X DOGRU CİKİYOR FAKAT DİGER DENKLEMDE AYNİ SEY NEDEN OLMUYOR HATAM NEDİR NASİL DUSUNMELİYİM

DİGER DENKLEMDE ŞÖYLE;

$a-1=a.k-3k$ da k nın yalnız kalması için a lari eşitliğin karşısına atmak için 3k dada a olması lazım ozaman a ile çarpıp a ya boleriz yani şöyle

$a-1=a.k-\dfrac{3.a.k}{a}$ yazariz

Şimdi eşitliğin sağ tarafındaki çarpım durumundaki a lari eşitliğin sol tarafına bölü olarak gonderirsek ifade şöyle olur

$\dfrac{a-1}{a}=k-\dfrac{3k}{a}$ oluyor fakat  eşitliğin sağ tarafında payda esitleyince

$\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{a.k-3k}{a}$ oluyor

Eşitliğin sağ tarafındaki paydadaki a sol tarafa çarpı olarak geçiyor ifade şöyle oluyor

$a.\dfrac{a-1}{a}=a.k-3k$ oluyor esitligin sol tarafındaki a lar sadelesiyor ve ifade ilk baştaki haline tekrar dönmüş oluyor $a-1=a.k-3k$ oluyor ve denklem her zaman ilk haline dönüyor benim burdaki yaptığım hata ve mantık hatam nedir bu 2 ifade arasındaki fark nedir 1 ifadede doğru olupda 2 ifadede yalnis olan nedir düşünmekten basım catlicak işin içinden cikamiyorum lütfen bana yardım eder misiniz.

---

$k$ kullanmaya başladıktan sonra elinizde iki farklı denklem var. Fakat yalnızca biriyle genişletme, sadeleştirme işlemleri yaparak problemin çözülmesini umuyorsunuz. Çözümde anlattığım gibi, 

$a=\dfrac{3k-1}{k-1}$ denkleminiz var ve bir de $a+2=(a+4)k$ denkleminiz var. Burada $a$ yerine değerini yazarak bilinmeyen sayısını düşürebilirsiniz. Yani

$$ \dfrac{3k-1}{k-1} + 2 = \left( \dfrac{3k-1}{k-1}+4 \right)k $$

şeklinde yalnızca $k$ ya bağlı bir denklem elde edersiniz. Biraz uğraşıp bunu çözebiliriz elbette. Ama yapmayın bunu lüften. N'olur yapmyın. $$ \dfrac{3k-1}{k-1} + 2 = \left( \dfrac{3k-1}{k-1}+4 \right)k $$ denklemi başlangıç probleminizden daha mı basit? Problemi bu aşamaya getirmek daha mı anlaşılır sizce? Başta dediğiniz gibi içler dışar çarpımı yapın mesela. 

 

Sizin ilk sorunuzdan şunu anlıyorum: Bunu daha uzun olsa da $k$  kullanarak çözebilir miyiz? Ben de sorduğunuz için soruya  cevap yazdım: Evet çözebiliriz fakat gereksiz biçimde uzun sürüyor, demek istedim. Uzun sürmekle kalmıyor, çözümün anlaşılırlığı da düşüyor. Siz de anlayamadığınızı belirtmiştiniz. Bunu sürdürmenin kimseye faydası olmadığını görüyorum.