Burada teorem ve ispatın özeti var.
Şuradaki YouTube yayınında Gödel'in teoreminin bir özet kanıtı (teoremle ilgili diğer tartışmalarla beraber) sunuluyor.
Ders kitabı olarak Leary ve Kristiansen'in lisans seviyesindeki A Friendly Introduction to Mathematical Logic kitabında kanıtı bulabilirsiniz. (Tabii ders kitabı olduğu için kanıtı anlayabilmek için kitabın ilgili bölümlerini okuyup ilerlemeniz gerekiyor.) Moschovakis'in şurada bulunan ders notlarında da teoremin kanıtı mevcut. Eğer bunlar dışında lisans üstü seviyede daha teknik kaynaklar arıyorsanız da, Hajek ve Pudlak'ın Metamathematics of First-Order Arithmetic kitabına ya da Shoenfield'ın Mathematical Logic bakabilirsiniz.
Türkçe kaynaklar içinde de Ahmet Çevik'in Matematik Felsefesi ve Matematiksel Mantık kitabında bir kanıt olması lazım.