$\displaystyle{{\sqrt{x}}(2\sqrt{x}+\sqrt{1-x})(3\sqrt{x}+4\sqrt{1-x})}$ ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

Question

$0 \leq x \leq 1$ olmak üzere

$\displaystyle{{\sqrt{x}}(2\sqrt{x}+\sqrt{1-x})(3\sqrt{x}+4\sqrt{1-x})}$

ifadesinin en büyük değeri kaçtır?

Ortalamalar eşitsizliği ve denediğim birkaç eşitsizliğe daha rağmen cevaba $(4\sqrt{5})$ ulaşamıyorum. Belki benim göremediğim çok basit bir şey vardır. Aklınıza gelen şık bir çözüm yazarsanız sevinirim. Lütfen direkt türev almalı çözüm atmayın.

Answer 1

Bir noktayı farkedince, alpercay ın önerdiği yöntem ile çözülebiliyor.

    $x=\sin^2\theta,\ 0\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}$ olacak şekilde tek bir $\theta$ vardır.
    Bu durumda $\sqrt x=\sin\theta,\ \sqrt{1-x}=\cos\theta$ olur.
$\sin\theta(2\sin\theta+\cos\theta)(3\sin\theta+4\cos\theta)$ fonksiyonunun $[0,\frac{\pi}{2}]$ aralığında maksimumunu bulmalıyız. Sürekli fonksiyon ve kapalı sınırlı aralık olduğu için maksimum (ve minimum) vardır.
Maksimum (ve minimum) ya uçlarda ya da içte bir kritik sayıda olacaktır.
Önce fonksiyonu biraz basitleştireceğiz.
$\cos \alpha=\frac2{\sqrt5},\ \sin \alpha=\frac1{\sqrt5}$ olacak şekilde tek bir $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ sayısı vardır.
$2\sin\theta+\cos\theta=\sqrt5\sin(x+\alpha)$ olur.
$\cos(2\alpha)=\frac35,\ \sin(2\alpha)=\frac45$ , bunun sonucu olarak,

$3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+2\alpha) $ olur (bence, sorunun püf noktası bunu farketmek).

Bu nedenle, $\sin\theta(2\sin\theta+\cos\theta)(3\sin\theta+4\cos\theta)=5\sqrt5\sin \theta\sin(\theta+\alpha)\sin(\theta+2\alpha) $ olur.

Toplam formüllerinden,

$\sin \theta\sin(\theta+2\alpha)=\frac12(\cos(2\alpha)-\cos(2(\theta+\alpha)))=(\sin^2(\theta+\alpha)-\frac15)$ olur.

$f(\theta)=5\sqrt5(\sin^3(\theta+\alpha)-\frac15\sin(\theta+\alpha))$ için

 $f'(\theta)=5\sqrt5(3\sin^2(\theta+\alpha)-\frac15)\cos(\theta+\alpha)$ olur.
 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ için $\sin^2(\theta+\alpha)\neq\frac1{15}$ olur (neden?)
 Bu nedenle $\cos(\theta+\alpha)=0$ yapan $\theta$ kritik sayı olur.
 
 $ 0<\theta<\frac{\pi}{2}$  aralığında bu şekilde tek bir sayı vardır: $\theta=\frac{\pi}{2}-\alpha$
  O zaman
  
   $\sin(\theta+\alpha)=1$ olur (neden?).
   
   Bu (biricik) kritik sayıda $f(\theta)=5\sqrt5(1-\frac1{5})=4\sqrt5$
 bulunur. $f(0)=0<4\sqrt5$ ve $f(\frac{\pi}{2})=4<4\sqrt5$ olduğu için, maksimum değer $4\sqrt5$ dir.

 ($x=\frac4{5}$ için bu maksimum değere erişilir)

Answer 2

$0\leq x\leq 1$ iken $0\leq \sqrt x\leq 1$ dir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $(2\sqrt x+\sqrt{1-x})^2\leq 5\Rightarrow 2\sqrt x+\sqrt{1-x})\leq \sqrt5$  

Yine aynı eşitsizlikten $(3\sqrt x+4\sqrt{1-x})^2\leq 25\Rightarrow 3\sqrt x+4\sqrt{1-x})\leq 5$  Bu iki eşitsizliği taraf tarafa çarparsak

$(2\sqrt x+\sqrt{1-x})(3\sqrt x+4\sqrt{1-x})\leq 5\sqrt5$ ve her iki tarafı $\sqrt x$ ile çarparsak,

$\sqrt x(2\sqrt x+\sqrt{1-x})(3\sqrt x+4\sqrt{1-x})\leq \sqrt x.5\sqrt5\leq 5\sqrt5$  olur.

Comments

Mehmet Hocam, ilk eşitsziliğin en büyük değerini aldığı nokta ile ikinci eşitsizliğin en büyük değerini aldığı nokta (x değeri) aynı olmayabilir. Bu yüzden eşitsizliklerin uç noktalarını çarparak işlem yapmak doğru sonuç vermeyebilir.

---

$x=cos^2 t$  dönüşümü ile bir çözüm denenebilir.

Answer 3

$f(\theta)=\sin\theta(2\sin\theta+\cos\theta)(3\sin\theta+4\cos\theta)=\sin\theta<(1,2),(\cos\theta,\sin\theta)><(4,3),(\cos\theta,\sin\theta)>$ şeklinde yazalım ve $a=(1,2), b=(\cos\theta,\sin\theta), c=(4,3)$ olmak üzere $\alpha$;   $a$ ve $b$ vektörleri ,$\beta$;  $b$ ve $c$ vektörleri ve $\gamma$;  $a$ ve $c$ vektörleri arasındaki açı olsun. $\theta$ açısı ilk bölgede olduğundan bu açılar da  ilk bölgede olduğu aşikardır.( $\theta=\pi/2$ için $f(\pi/2)=6$ bulunur ve görüleceği üzere en büyük değere karşılık gelmez). Bu durumda $$f(\theta,\alpha,\beta)=5\sqrt{5}\sin\theta\cos\alpha\cos\beta$$ ifadesi en büyük değerini $g(\alpha,\beta)=cos\alpha.cos\beta$ fonksiyonunun maksimumunda alır ve bu durum $\alpha=0$ ya da $\beta=0$ olduğunda gerçekleşir. Biz ilk durumu gözönüne alalım (ikinci durum için benzer hesap yapılınca $f(\theta,\alpha,\beta)=6$ bulunuyor)  , yani $a$  ve  $b$ vektörleri aynı yönlü olsun. Bu durumda $sin\theta=\dfrac{2}{\sqrt 5}$  ,  $\beta=\gamma$ olur. $$<a,c>=|a||c|cos\gamma=\sqrt 5.5.cos\gamma=10$$  eşitliğinden  $cos\gamma=\dfrac{2}{\sqrt 5}$  bulunur. Buna göre ifadenin en büyük değeri $$f(\theta,\alpha,\beta)=\sin\theta. 5\sqrt 5 cos0.cos\gamma =\dfrac{2}{\sqrt 5} 5\sqrt 5.1.\dfrac{2}{\sqrt 5}=4\sqrt5$$  olur.

Comments

$g(\theta)=sin\theta, h(\theta)=2sin\theta+cos\theta, w(\theta)=3sin\theta+4cos\theta$  olsun. Bu soruda $f=g.h.w$  fonksiyonu $h$ nin en büyük değerini aldığı yerde ($tan\theta=2 )$ için bir maksimuma ulaşıyor.