T bir büzüşme eşleşmesi ise, $d(T(x),T(y))\leq p d(x,y)$ herhangi bir $p\in ]0,1[$ için bütün $x,y\in X$'lerde geçerli olmak zorundadır (zaten tanımı bu).
Eğer $X$'in $T(x)=x$ koşulunu sağlayan birden fazla elemanı olsaydı (böyle $x$'leri sabit değer diye adlandırıyoruz), bunlardan herhangi ikisini $a,b\in X$ seçebilirdik ve o zaman $d(a,b)=d(T(a),T(b))\leq p d(a,b)$. Ama $p< 1$ olduğu ve $d(a,b)>0$ için $d(a,b)\leq p d(a,b)$ olamayacağına göre $d(a,b)=0\rightarrow a=b$'dir.
İkinci savı kanıtlamak için $m,n\in \mathbb{N}$ ve $0\leq m\leq n$ olsun.
$d(x_m,x_n)\leq d(T(x_{m-1}),T(x_{n-1})= p d(x_{m-1},x_{n-1})\leq...$
bunu devam ettirdiğimizde
$\leq...\leq p d(x_0,x_{n-m})\leq$
ve üçgen eşitsizliğini ardarda kullandığımızda
$\leq ...\leq p^m \displaystyle\sum_{j=0}^{n-m-1} d(x_j,x_{j+1})=p^m [d(x_0,x_1)+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-m-1} d(T(x_{j-1}),T(x_{j}))]\leq $
aynı şekilde (toplamı her seferinde açarak)
$\leq ...\leq p^m d(x_0,x_1)\displaystyle\sum_{j=0}^{n-m-1} p^j =d(x_0,x_1)p^m \frac{1-p^{n-m}}{1-p}\leq d(x_0,x_1) \frac{p^m}{1-p}$
yani $(x_i)_{i\in \mathbf{N}}$ $(X,d)$'de bir Cauchy dizisidir ve $(X,d)$ tam olduğu için bir yakınsama değeri $a:=lim_{i\rightarrow\infty} x_i$ vardır. Böylece
$a=lim_{i\rightarrow\infty} x_i=lim_{i\rightarrow\infty} x_{i+1}=lim_{i\rightarrow\infty} T(x_{i})=$
büzüşme özelliği nedeniyle T'nin düzgün sürekli olduğunu kullanırsak
$=T(lim_{i\rightarrow\infty} x_{i})=T(a)$ (=$a$ sabit değerdir). $\square$