Üç nokta

Question

Bir kağıtta aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta bulunuyor. Bu noktaların üçüne de eşit uzaklıkta bulunma koşuluyla en fazla kaç doğru çizilebilir?

Answer 1

3 tane cizdim. Daha da cizemem.

Neden?

(1). Her dogru, elimizdeki kagidi (duzlemi) iki parcaya (iki yari duzleme) ayirir. 

(2). Elimizde duzlemde $X$ ve $Y$ noktalari ve bir $D$ dogrusu olsun. Yukarida dedigimiz gibi, $D$ noktasi duzlemi iki parcaya ayirir. $X$ ve $Y$'nin ayni yari duzlemde oldugunu varsayalim. Bu durumda, $D$ dogrusu $X$ ve $Y$ noktalarina esit uzakliktadir ancak ve ancak $D$ dogrusu $X$ ve $Y$ noktalarindan gecen dogruya paralel ise.

Simdi, noktalarimiza $a, b$ ve $c$ adlarini verelim. Elimizde de sizin istediginiz gibi bir $L$ dogrusu olsun. Bu dogru. duzlemi iki yari duzleme ayirdi (1). $a, b$ ve $c$ noktalarindan ucu birden ayni yari duzlemde bulunamaz ( Cunku noktalarimiz ayni dogru uzerinde bulunmuyor. Eger ayni duzlemde yer alsalardi, bu (2) ile celisirdi.) Yani, elimizdeki 3 noktadan 2'si bir yari duzleme, digeri diger yari duzleme dusmek zorunda.

Diyelim $a$ ile $b$ ayni yari duzleme dustu, $c$ de diger yari duzlemde. Elimizdeki $L$ dogrusu, $a$ ve $b$ noktalarindan gecen dogruya paralel olmak zorunda. $a$ ve $b$'den gecen dogruya paralel olan butun dogrularin icerisinden, $c$ noktasina uzakligi $a$ ve $b$ noktalarina uzakligina esit olan bir ve yalnizca bir dogru vardir. Demek ki $L$ dogrusu $a$ ve $b$ noktalarini ayni yari duzlemde birakacak sekilde cizilen bir dogruysa, bir ve sadece bir secenek var elimizde.

Aynisini, diger iki nokta cifti icin de soyleyebiliriz.

Her nokta cifti icin degisik bir dogru elde ediyoruz ve 3 nokta cifti var. Demek ki istediginiz gibi 3 tane dogru cizebiliyoruz.

Comments

Sanki cok unlu bir teoremin sonucu olarak da kanitlanabilecek bir sey gibi duruyor bu soru. Oyle bir havasi var yani. 

Answer 2

Eğer çözümü düzlemde (kağıt düzlemsel ise ,ki çoğu kez  öyle olduğunu kabul ederiz) bu üç nokta daima bir üçgen oluşturur. Üçgenin de üç köşesinden eşit uzaklıkta olan tek bir nokta vardır. O da üçgenin çevrel çemberinin (kenarorta dikmelerinin kesim noktası) merkezidir. 

Yani düzlemde istenilen koşullarda doğru yoktur. 

Ama çözümü $R^3$ te düşüneceksek o zamanda çözüm; bu üçgenin çevrel çemberinin merkezinden geçen ve üçgen düzlemine dik olan doğrudur.

Comments

Istenilen kosulu yanlis anladigini dusunuyorum.

Istedigimiz sey "dogrunun uzerinde yer alan her noktanin verilen uc noktaya esit uzaklikta olmasi" degil, istedigimiz sey "dogrunun verilen uc noktaya esit uzaklikta olmasi". Bunu da "verilen uc noktanin dogruya esit uzaklikta olmasi" seklinde okuyabiliriz.

Bu durumda bir dogrunun bir noktaya uzakliginin ne oldugu konusunda karar vermemiz lazim. Ama bir dogrunun bir noktaya uzakliginin ne olmasi gerektigini biliyoruz. 

$M$ bir metrik uzay (uzerinde guzel bir uzaklik fonksiyonu tanimladigimiz bir kume), $K \subseteq M$ bir altkume, ve $a \in M$ bir nokta olsun. $a$'nin $K$'ye uzakligini (ya da $K$'nin $a$'ya uzakligini) soyle tanimliyabiliriz: $u(a, K): = \inf_{x \in K} u(a,x)$. Bu guzel bir tanim, cunku su sonucu veriyor: Eger $a$ noktasi $K$'nin icindeyse ya da $K$'nin sinirindaysa (ya da ikisini birlestirip $K$'nin kapanisindaysa diyebiliriz) o zaman bu uzaklik sifir oluyor. Degilse, pozitif oluyor. 

Simdi yukaridaki paragrafi unutabiliriz. Soruyu soyut bir metrik uzayda degil, duzlemde dusunuyoruz. Ve $K$'yi herhangi bir kume degil, bir dogru aliyoruz. Bir $a$ noktasinin $K$ dogrusuna uzakliginin da nasil tanimlandigini biliyoruz. $a$ noktasindan gecen ve $K$'ye dik olan dogrunun $K$'yi kestigi noktaya bakiyoruz (bu noktaya $b$ diyelim.). Bu durumda, $u(a,K) = u(a,b)$ oluyor. Bunun analitik geometride ezberlenen formulleri var, ama su an hatirlamiyorum. Cikarmasi zor degil. Simdi, elimizde uc tane nokta oldugunu dusunelim: $a, b $ ve $c$. 

Soru sunu soruyor: $u(a, K) = u(b, K) = u(c, K)$ esitligini saglayacak kac tane $K$ bulabiliriz?