Eğrinin parametik denklemi $x=x(t), y=y(t), a\leq t\leq b$ olsun. İşe "uzunluk diferansiyel elemanı"nı oluşturarak başlayacağız.
Düzlemde eğrinin $(x-x+dx, y-y+dy)$'lik kısmına yeterince odaklanalım. Bu parçayı dik kenarları $dx, dy$ olan diküçgenin hipotenüsü almak mümkündür. Bu parçanın uzunlupğu $ds$ olsun. O hâlde, $$ds^2=dx^2+dy^2$$ Pisagor teoremi sağlanır. $dx=\dot x dt$ ve $dy=\dot y dy$ diferansiyelleri alınırsa, $$ds^2=(\dot x dt)^2+(\dot y dt)^2=(\dot x^2+\dot y^2)\,dt^2$$ elde edilir. İfâdenin karekökü alınırsa, $$ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt$$ elde edilir. Bunu $[a,b]$ aralığında integre edersek,
$$s(a,b)=\int_a^b\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt$$ bulunur.
Sizin sorunuzda $x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, 0\leq t\leq \pi/8$ verilmiş. Küçük bir hesapla, $\dot x^2+\dot y^2=1$ olduğu görülür. Buradan integralin sonucu.
$$s(0,\frac{\pi}{8})=\int_0^{\pi/8}1\cdot\,dt=\frac{\pi}{8}$$ buluruz.
Önemli noktalar:
1-Verilen parametrik denklemler $(x(t), y(t))$, verilen aralıkta diferansiyellenebilir olmalıdır.
2-Ayrıca, $\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ integrand ifâdesi de verilen aralıkta integrallenebilir olmalıdır.