Merhabalar, bu soru hakkında yaklaşık 10 gündür düşünüyorum. Elbette uzun bir kısmını çözdüm fakat takıldığım yer aşağıda da belirteceğim üzere $a=e$ kısmı.
O halde soruyu çözümleyelim. $\sum \dfrac{a^{n}\cdot n!}{n^{n}}$. Bu serinin gözüme çarpan bir kaç elemanından dolayı "Oran Testi" uygulamaya karar verdim ve $\lim _{n\rightarrow \infty } \left| \dfrac{\left( n+1\right) !a^{n+1}}{\left( n+1\right) ^{n+1}}\cdot \dfrac{n^{n}}{n!a^{n}}\right|$ o halde burayı da çözümlersek. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{an^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}$. O zaman $a$'yı dışarı çıkartabiliriz çünkü değişken $a$'yı etkilemiyor. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{an^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}=a\lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n+1}{n}\right) ^{-n}$ burada da açıkça görülyor ki: $a\lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n+1}{n}\right) ^{-n}=\dfrac{a}{e}$. O halde, eğer $a=e$ ise (benim takıldığım kısım) ne olduğuna bakmamız gerekiyor, çünkü "Oran Testi" sonuç vermiyor. eğer $0<a<1$ ise yakınsıyor ve eğer $a>e$ ise ıraksar.
$a=e$ eşitliği için bakarsak eğer, "Oran Testi"nin işe yaramdığını ve "Raabe" testini uygulamamız gerektiğini görüyoruz. Eğer, $n\left( 1-\dfrac{e\cdot n^{n}}{\left( n+1\right) ^{n}}\right) $ yazabiliriz. Ben burada öncelikle binom açılımını denedim. $n\left( \dfrac{n^{n}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}-en^{n}}{n^{n}\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}}\right)$. O halde, $n\left( \dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}-e}{\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) ^{n}}\right)$. Fakat buradan sonuç bulamadım. Sonra düşünürken başka bir seriile kıyaslamayı denedim. Bu durumda ise:
$n\rightarrow \infty$ giderken, $\ln \left( n\right) \leq n^{p}\leq b^{n}\leq n!\leq n^{n},p >0, b >1$ Eşitsizliği bilinir. Bunlardan yola çıkarak, $\sum \dfrac{e^{n}\cdot n!}{n^{n}}$ şu diziyi yazdım. $a_{n}=\dfrac{\left( n!\right) ^{2}}{n^{n}}$ ve $b_{n}=\dfrac{e^{n}n!}{n^{n}}$ ile kıyasladım fakat dişe dokunur bir sonuç gelmedi.(Limit Karşılaştırma Testi). Daha sonra, Direkt Karşılaştırma Testini kullandım. $\sum \dfrac{e^{n}n!}{n^{n}}\leq \sum \dfrac{\left( n!\right) ^{2}}{n^{n}}$ Bu seri de ıraksak çıktığı için bir sonuca varamadım. Yine denemeye devame edeceğim. Eğer bulursam paylaşacağım.