$G$, $\Omega$ üzerine etki etsin

Question

ve $g\in G$ için $a(g)$, $\langle g\rangle$'ın $\Omega$ üzerindeki orbitlerinin sayısı olsun (orbit teriminin Türkçesini maalesef bilmiyorum). $$f_{G,\Omega}(x)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} x^{a(g)}$$ değerinin tüm $x\in \mathbb{Z}^+$ için tamsayı olduğunu gösteriniz.

($G$ ve $\Omega$ sonlu kabul edilecektir.)

Herhalde 3-4 gündür uğraşıyorum, bir ipucu yakalayamadım.

Comments

Yazmış olduğunuz ifade Burnside teoremidir. 

---

Hocam Burnside teoremi toplam orbit sayısını saymak için kullanılan teorem değil mi? Yankış bilmiyorsam Cauchy-Frobenius teoremi olarak de geçiyor. Burada ben bir polinom alıyorum, orbitleri saymıyorum.

---

Haklısınız. Orbitlerin sayısı Burnside teoremi. Soruya bir daha bakayım. 

---

orbit = yorunge?

---

Sanırım öyle oluyor

---

Grup teorim berbata yakin, o nedenle sacma olabilir, maksat olacaksa yontem ya da bir yol olsun:

$x^\Omega$ kumesine olan etkisine bakip standart orbit teoremini uygulayamaz miyiz? Tabi boyle bir kume olusturabilir miyiz? 

sonra $g(a) \rightarrow x^{g(a)}$ olur ise, ki muhtemelen olur gibi, soru cozulmus olur.

---

$x^\Omega$ kümesinden kastettiğiniz nedir hocam?

---

$$x^A=\{f:A\to \{0,...,x-1\}\}$$ Bu da cevabi verir herhalde.

---

Hocam emin olmamakla birlikte dediğinizin çalışacağını sanmıyorum. Çünkü öyle olsa idi, polinomun tüm terimlerinin $|G|$'ye bölünmesi gerekirdi, ki bu doğru değil. 

Çünkü grubun içinde 1 elemanı var ve $\langle 1\rangle$'ın küme üzerindeki orbit sayısı $|\Omega|$. Fakat $|G|$'nin $x^{|\Omega|}$yı bölme zorunluluğu yok. 

---

($x=| Y|=t$ olmak üzere) 

https://en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3lya_enumeration_theorem

daki teoreme benziyor sorunuz.

Ek: Sercan da daha önce aynı şeyi söylemiş.

Answer 1

Sorunun cevabı az çok yorumlarda verilmiş. Doğan hocanın verdiği linkteki Polya'nın teoremin bir sonucu bu. Sercan yorumlarında vermiş çözümü aslında ama detaylı yazılmış olsun burada.

$G$ bir sonlu grup, $\Omega$ da bir $G$-kümesi olsun. Eleman sayısı $t \in \mathbb{Z} ^{+}$ olan bir küme alalım ve bu kümeyi $Y$ ile gosterelim. $Z=Y^{\Omega}$ kümesi $\Omega$'dan  $Y$'ye olan fonksiyonların kümesi olsun. Bu küme üzerinde $G$ grubunun etkisi vardır. Bu etki $(g f) (x)= f(g^{-1} x)$ şeklinde verilir. Şimdi $Z$ üzerinde standard Burnside counting lemma uygularsak

$$|Z/G|=\frac{1}{|G|} \sum _{g \in G} |Z^g| $$

eşitliği bulunur. Burnside lemma icin referans şu:

https://en.wikipedia.org/wiki/Burnside's_lemma

Şimdi geriye sadece $|Z^g|$'yi hesaplamak kalıyor. $f\in Z^g$ ise $f$ bir fonksiyon olarak bütün $x\in \Omega$ için $f(gx)=f(x)$ eşitliğini sağlaması lazım. Yine aynı şekilde bu eşitliği sağlayanlar da $Z^g$ kümesinin elemanları olurlar. Yani $Z^g$ kümesi $\Omega /\langle g \rangle$ dan $Y$ ye fonksiyonların kümesine eşittir. Buradan $$|Z^g|=|Y^{\Omega /\langle g \rangle}|=t^{a(g)}$$eşitliği bulunur. Sonuç olarak $\frac{1}{|G|} \sum _{g\in G} t^{a(g)}$ toplamı tüm pozitif $t$ tam sayıları için tam sayıdır (|Y|=t olduğunda bu toplam |Z/G| tamsayısına eşit olacağı için).