Teorem: $A\subseteq\mathbb{R}, \,\ f\in \mathbb{R}^A, \,\ a\in D(A\cap (-\infty,a))\cap D(A\cap (a,\infty))$ ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L.$$
Bu teoremin kanıtı burada mevcut. $A\subseteq\mathbb{R}$ ve $a\in A$ olmak üzere $a$ gerçel sayısının $A$ kümesinin yığılma noktası, soldan yığılma noktası ve sağdan yığılma noktası olması şöyle tanımlanır:
$$a, A\text{'nın yığılma noktası}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)((x-\epsilon,x+\epsilon)\cap (A\setminus\{x\})\neq \emptyset),$$
$$D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\},$$
$$a, A\text{'nın soldan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (-\infty,a)),$$
$$a, A\text{'nın sağdan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (a,\infty)).$$
Bu soruda $$f(x)=\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesi $$A=[0,\infty)$$ kümesidir. Dolayısıyla $$0\in D(A)=D([0,\infty))=[0,\infty)$$ ve
$$0\in D(A\cap (0,\infty))=D([0,\infty)\cap (0,\infty))=D((0,\infty))=[0,\infty)$$ olduğundan $0,$ $A$ kümesinin hem yığılma noktası hem de sağdan yığılma noktasıdır. Fakat $$0\notin D(A\cap (-\infty,0))=D((0,\infty)\cap (-\infty,0))=D(\emptyset)=\emptyset$$ olduğundan $0,$ $A$ kümesinin soldan yığılma noktası DEĞİLDİR. $0,$ $A$ kümesinin soldan yığılma noktası olmadığı için soldan limitten BAHSEDEMEYİZ. Dolayısıyla $$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}$$ olacaktır.
$$\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0$$ olduğunu göstermek de zor olmasa gerek. Onu sana bırakıyorum.