Bazı analitik fonksiyonlarda $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$ olması

Question

$U\subseteq\mathbb{C}$ ve  $\overline{U}=\{\bar{z}:z\in U\}=U$ şeklinde bir bölge (boş olmayan, açık ve bağlantılı küme) olsun.

$f:U\to\mathbb{C}$ (kompleks) analitik bir fonksiyon ve $f(U\cap\mathbb{R})\subseteq \mathbb{R}$ olsun. ($\bar{z}:\ z$ nin eşleniği)

 $\forall z\in U$ için $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$ olur mu?

Comments

Öceki soru ile şu yönden ilgil:

$G=\mathbb{Z}_2=\{e,a\}$ ve $\mathbb{C}$ üzerinde, $a\cdot z=\bar{z}$ şeklinde etkiyor olmak üzere, böyle bir $f$ ekivaryant mıdır?

EK:  Aslında Lisansüstü düzeyde bir bilgiye gerek yok.

Answer 1

Belki bir miktar sezgisel olacak ama:

$\overline{U} = U$ bölgesi reel sayıların boş olmayan bir alt kümesini içermeli. Bu kümeden bir $x_0$ reel sayısı seçelim ve $f$ fonksiyonunun bu nokta etrafında, $x \in \mathbb{R}$ olmak üzere seri açılımını yazalım: $f(x) = \sum^\infty_{n=0} a_n (x - x_0)^n$. Eğer $f(\overline{x}) = f(x) = \overline{f(x)}$ olsun istiyorsak, iki tarafın seri açılımlarının kuvvetlerini eşitleyerek $\forall n \in \mathbb{N}$ için $a_n = \overline{a_n}$ olması gerektiği görülür - yani $f(x)$ reel değerler almalıdır. $f(z)$ ayrıca analitik olduğundan bu sonucu bir $z \in U$ için analitik devam ettirip $f(\overline{z}) = \overline{f(z)}$ ifadesinin geçerliliğini koruyabiliriz.

Kısaca $f(z)|_{z \in U \cap \mathbb{R}}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ özelliğinde olabilen analitik $f(z)$'ler için eşitlik sağlanır.

Comments

Aynı şekilde $z_0 \in \mathbb{R}$ etrafındaki seri açılımı üzerinden tanımlanabilecek $f(z)$ analitik fonksiyonu ekivaryanttır, yani $f(a \cdot z) = \sum a_n (\overline{z} - z_0)^n = \sum \overline{a_n} \overline{(z - z_0)^n} = a \cdot f(z) \iff f|_\mathbb{R}$ reel.

Answer 2

Başka bir çözüm:

Önce, $U\cap\mathbb{R}\neq\emptyset$ olduğunu gösterelim. Bunun için $U$ nun ($U\neq\emptyset$ ve $\overline{U}=U$ oluşunu ve) bağlantılı olmasını (bunu ileride bir kez daha kullanacağız)  kullanacağız.

$U\cap\mathbb{R}=\emptyset$ ise $U=U_1\cup U_2,\quad U_1=\{z\in U:\textrm{Im} z>0\},\ U_2=\{z\in U:\textrm{Im} z<0\}$  ve bu kümeler ayrık, açık ve boştan farklı olup, $U$ nun bağlantılı olması ile çelişirdi.

$\emptyset\neq U\cap\mathbb{R},\ \mathbb{R}$ de açık olacağı için ($\mathbb{C}$ de) ayrık olamaz.

Şimdi de, $\overline{f(\bar{z})}$ nin $U$ da analitik olduğunu gösterelim.

(her zamanki gibi) $f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)\quad (x,y\in\mathbb{R})$ olarak yazalım.

Kompleks Analizdeki Teoremlerden, $u$ ve $v$ harmonik fonksiyonlardır ve Cauchy-Riemann (C-R) eşitliklerini sağlarlar:

$u_x=v_y,\ u_y=-v_x$ .

$\overline{f(\bar{z})}=\overline{f(x-iy)}=u(x,-y)-iv(x,-y)=A(x,y)+iB(x,y)$

($ A(x,y)=u(x,-y),\ B(x,y)=-v(x,-y)$  olmak üzere)

$A$ ve $B$ nin ($U$ da) harmonik fonksiyonlar olduğu ve ($U$ nun her noktasında) $A_x=B_y,\ A_y=-B_x$ olduğu (zincir Kurallarından) kolayca görülür.

Öyleyse, $\overline{f(\bar{z})}$, $U$ bölgesinde analitik bir fonksiyondur.

$f(z)-\overline{f(\bar{z})},\ U$ da analitik bir fonksiyon ve $U\cap\mathbb{R}$ kümesinde ($f(U\cap\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$ olduğu için)  0 a eşittir.

Bu küme ($U\cap\mathbb{R}$), yukarıda belirtildiği gibi, ayrık değildir (her noktası, kendisinin bir  yığılma noktasıdır), $U$ bağlantılı olduğu için, $f(z)-\overline{f(\bar{z})},\ U$ da sabit 0 fonksiyonudur (çünki kökleri ayrık değil)

(Teorem: Bağlantılı bir bölgede, sabit 0 olmayan analitik fonksiyonların kökleri (=sıfırları) ayrıktır.)

(NOT: $U$ bağlantılı değilse ($U\cap\mathbb{R}\neq\emptyset$ olsa bile), bu iddia doğru olmak zorunda değildir)

Comments

Bunun daha genel şekline,  Schwarz Yansıma İlkesi deniyor.