$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere $$((X,\tau_1), \text{ ayrılabilir})(f, \text{ homeomorfizm})\Rightarrow (Y,\tau_2), \text{ ayrılabilir}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani ayrılabilir uzay olma özelliğinin topolojik özellik olduğunu gösteriniz.

Not: $(X,\tau)$ topolojilk uzay olsun.

$$(X,\tau), \text{ ayrılabilir}:\Leftrightarrow (\exists A\subseteq X)(|A|\leq\aleph_0\wedge \overline{A}=X)$$

Answer 1

$f,$ homeomorfizm$;$ $A \subseteq X;$ $|A| \leq \aleph_{0}$  ve  $\overline{A}=X$ olsun.

$
   \left.
   \begin{array}{r}
   (A\subseteq X)(|A| \leq \aleph_{0})\left(\overline{A}=X\right) \\ \\
   f,  \text{ homeomorfizm}
    \end{array}
  \right\} \Rightarrow $

 

$\begin{array}{rr}
 \Rightarrow (f[A]\subseteq Y)(|f[A]| \overset{f, \text{ birebir}}{\leq} \aleph_{0}) (Y\overset{f, \text{ örten}}{=}f[X]=f\left[\overline{A}\right]\overset{f, \text{ sürekli}}{\subseteq} \overline{f[A]}\subseteq Y)
  \end{array}$

 

$\begin{array}{rr}
 \Rightarrow (f[A]\subseteq Y) (|f[A]| \leq \aleph_{0})\left(\overline{f[A]}=Y\right).
  \end{array}$

$Y$'nin en az bir tane yoğun alt kümesini bulduk. Buda $(Y, \tau_{2})$ uzayının ayrılabilir uzay olduğunu gösterir. Yani ayrılabilir uzay olma özelliği topolojik özelliktir.