Sürekli kısmi integral alınan integral sorusu

Question

${\displaystyle\int}\mathrm{e}^{{\theta}-c}\cos\left({\theta}\right)\,\mathrm{d}{\theta} = ? $

Kısmi integral uyguluyorum. $u=cos(\theta) , dv=e^{\theta-c} d\theta$ daha sonrasında $uv-\int vdu$ sonuç olarak şu çıkıyor karşıma

$=\mathrm{e}^{{\theta}-c}\cos\left({\theta}\right)-{\displaystyle\int}-\mathrm{e}^{{\theta}-c}\sin\left({\theta}\right)\,\mathrm{d}{\theta}$

Sağ taraftaki integrali tekrardan kısmi integral ile çözmeye çalışıyorum.

$=\mathrm{e}^{{\theta}-c}\cos\left({\theta}\right)-\left(-\mathrm{e}^{{\theta}-c}\sin\left({\theta}\right)-{\displaystyle\int}-\mathrm{e}^{{\theta}-c}\cos\left({\theta}\right)\,\mathrm{d}{\theta}\right)$ Böyle bir döngü elde ediyorum ama kitapta bu integral için $=\dfrac{\mathrm{e}^{{\theta}-c}\sin\left({\theta}\right)+\mathrm{e}^{{\theta}-c}\cos\left({\theta}\right)}{2}+c$ diyor. Nasıl böyle bir sonuç  bulabildi ?

Comments

Ha! Buna benzer bir şeyle yaklaşık bir on sene önce ben de cebelleşmiştim ama aslında çok basit bir şeyi gözden kaçırmışım. O integrale $I$ dersen, elinde

$$ I =e^{\theta - c} \cos \theta + e^{\theta - c} \sin \theta - I $$

oluyor. (Tek yaptığım şey eksileri dağıtmak oldu). Sonra $I$'yi sol tarafa atman lazım.

---

Haklısın hocam, bende soruyu yazdıktan sonra farketmiştim ama  $I$ dememiştim. Teşekkür ederim

---

Başka bir soru da:

$I =e^{\theta - c} \cos \theta + e^{\theta - c} \sin \theta - I$ dan

$2I =e^{\theta - c} \cos \theta + e^{\theta - c} \sin \theta$ ve

$I =\frac12\left(e^{\theta - c} \cos \theta + e^{\theta - c} \sin \theta\right)$ olur ve:

${\displaystyle\int}\mathrm{e}^{{\theta}-c}\cos\left({\theta}\right)\,\mathrm{d}{\theta}=\frac12\left(e^{\theta - c} \cos \theta + e^{\theta - c} \sin \theta\right)$ bulduk.

Soru şu: integrasyon sabiti ($+C$)  nerede?

Soruda, düşünmeden eklenmiş gibi görünüyor ama adım adım yapınca, ($+C$)  ortaya çıkmıyor.

---

Sanıyorum bunu iki sene önce ya sınavda ya da ödevde sorduk, bence çok güzel soru.

---

Ben de Perşembe günü derste sormuştum :-)

---

ipucu alabilir miyim?

---

İpucu: Bir fonksiyonun belirsiz integrali tek (biricik)  mi?

---

değil hocam..

---

O eşitliğin sağındakive solundaki $I$ lar ($\int e^{\theta-c}\,d\theta)$) aynı olmak zorunda mı?

---

$cos(x)    = \frac{1}{2}(exp(ix) + exp(-ix))$

kullanmak bu tur integrallerde benim daha cok hosuma gidiyor

---

soldaki ve sağdaki $I$' lar aynı olmak zorunda değil

---

+c ile yazılmış ifadenin türevi yanındaki integralin içi çıkıyor

---

Bence +c 'yi sonradan yazılması doğru.