İki alt uzayın birleşimi(U birleşim W) alt uzay olur mu

Question

İki alt uzayın birleşimi(U ve W) alt uzay olur mu

Comments

koordinat eksenlerini dusun

---

Bana ispatı lazım

---

iste tamam yapabilirsin bence ispati. $\mathbb{R}^2$ icin koordinat eksenleri ($x= 0$ ve $y=0$) birer alt uzay mi? bunlarin birlesimi alt uzay mi ?

---

Birleşim her zaman sıkıntılıdır.

---

$U\subseteq V$ ise $U\cup V=V$  olup birleşim alt uzay olur.

Soruya "ikisi de birbirinin alt uzayı olmayan"  eklenirse, birleşimin alt uzay olmadığı gösterilebiliyor.

Answer 1

$U\nsubseteq V$ ve $V\nsubseteq U$ olsun.

Tüm uzaya $W$ diyelim. $W=U\cup V$ olduğunu varsayıp bir çelişki bulacağız.

O zaman $u\in U\setminus V$ ve $v\in V\setminus U$ olacak şekilde $u,v\in W$ vektörleri vardır.

$u+v\in W=U\cup V$ olduğundan,

$u+v\in U$ veya $u+v\in V$ olmak zorundadır.

$u+v\in U$ durumunda $v=(u+v)-u\in U$ olup bir çelişki ortaya çıkar.

$u+v\in V$ durumunda $u=(u+v)-v\in V$ olup bir çelişki ortaya çıkar.

Bu da, ("ikisi de birbirinin alt uzayı olmayan"  eklenerek düzeltilen)  iddiayı kanıtlar.

Answer 2

Alt uzay vektörlerini bileşimi her zaman alt uzay olmayabilir.Örneğin A ve B kümelerimiz olsun A kümesi 2k katlı olsun B kümesi 3k katlı olsun obeb bir ise bunların birleşimi alt uzay olmaz örneğin A dan 2 yi B den ise 3 ü alalım iki kümeyi birleştirdiğimiz zaman 5 elemanını bulundurmayacağından alt uzay vektörü tanımına uymaz. 2k ve 4k lı kümelerin birleşiminden obeb 2 olur birleşiminde alt uzay tanımına uyar yani alt uzay oladabilir olmayadabilir.

Comments

Bu ispat olmaz March.

Vektör uzayı cisimler üzerine olur.

Vektörler için obeb (ve ekok) anlamsızdır.

Sen halkalarda iki idealin birleşiminin ideal olmayabileceği bir örnek verdin.