Bir LN-yüzey $u$ ve $v$ yüzey parametreleri ve $f=f(u,v)$ rasyonel veya polinomiyal fonksiyon olmak üzere normali $$N(u,v)=(f_{u u}f_{vv}-f^2_{u v})(u,v,1)$$ şeklinde yazılabilen bir yüzeydir. Bu yüzeyin şekil operatörü matrisi (matris hesabı için Ökkeş Dülgerci'ye çok teşekkürler) aşağıdaki gibidir:
$S=\dfrac{1}{(u^2+v^2+1)^{3/2}(f^2_{u v}-f_{vv}f_{u u})} \begin{bmatrix} -(v^2+1)f_{vv}-uvf_{uv} & (u^2+1)f_{u v}+uvf_{vv}
\\(v^2+1)f_{u v}+uvf_{vv} & -(u^2+1)f_{u u}-uvf_{uv} \end {bmatrix} $
$$-(v^2+1)f_{vv}-uvf_{uv}=1, -(u^2+1)f_{u u}-uvf_{uv}=1$$ ve $$(u^2+1)f_{u v}+uvf_{vv}=0 , (v^2+1)f_{u v}+uvf_{vv}=0$$ olması durumunda umbilik noktaları karakterize etmek istiyorum. Son iki eşitlikten $u^2-v^2=0$ bulunur. İlk iki eşitlik birbirinden çıkartılır ve $u^2-v^2=0$ olduğu kullanılırsa $$f_{u u}=f_{vv}$$ eşitliğine ulaşılır. $u^2-v^2=0$ şartı altında $f(u,v)=u^n+v^n$ şeklindeki fonksiyonlar bu eşitliği sağlıyor gözüküyor. Amacım bu şartları sağlayan tüm rasyonel veya polinomiyal fonksiyonları bulmak. Özet olarak $u^2-v^2=0$ şartı altında $$f_{u u}=f_{vv}$$ diferensiyel denkleminin tüm çözümleri nelerdir? Teşekkürler.