Uç noktalardaki limit, süreklilik ve türev durumu

Question

Bir $f$ fonksiyonu olsun. $f, \ (a,b]$ aralığında tanımlı olmak üzere;

fonksiyonun a ve b noktalarındaki limitinin, sürekliliğinin ve türevinin varlığı hakkında ne söyleyebiliriz?

Kimileri uç noktalarda limit aranmaz diyor. Dolayısıyla süreklilik de bulunmaz. Fonksiyona uç noktada çok sayıda teğet çizilebileceği için türev de bulunmaz. (sürekli değilse türevli de değildir diyebiliriz.)

Kimileri de soldan sınırlandırılmış bir çözüm kümesi için sağdan limitin, sağdan sınırlandırılmış bir çözüm kümesi için soldan limitin varlığının fonksiyonun o noktalardaki limitinin varlığı için yettiğini ifade ediyor. Varsayıyorum ki bu doğru olsun. Limit var, fonksiyon $f(b)$ için tanımlı iken $f(a)$ için tanımsız. Süreklilik için limit olmalı ve fonksiyonun o noktadaki değeri limit değerine eşit olmalı. İki noktada da limit var. Sürekliliğini incelediğimizde $x=b$ noktasında sürekli ancak $x=a$ noktasında tanımsız olması sebebiyle süreksiz. Süreksiz ise $a$ noktasında türev de bulunmamalı. $b$ noktasında ise fonksiyona uç noktada çok sayıda teğet çizilebilir dolayısıyla türevsizdir diyerek işin içinden çıkmaya çalışıyorum. :)

Eminim böyle önemli bir konu matematikçiler tarafından çözümsüz bırakılmamıştır ve bana kesin ayrımlarla bu işi anlatacak biri vardır.

 

Saygılarımla...

Comments

Merhaba polestar, niye bunun bu kadar önemli bir konu olduğunu düşünüyorsun?

---

@polestar, bildiğin süreklilik, limit ve türev tanımlarını yaz. Ben sana yardımcı olayım.

---

Özgür abi, matematikçiler bildiğim kadarıyla bir şeyleri tanımsız bırakmaktan pek haz etmezler. Her şeyi tanımlarıyla yargılarlar. Limit, süreklilik ve türev tanımlı birer kavram iken uç noktalardaki limit, süreklilik ve türevin tanımsız bırakılması mantıklı olmasa gerek. Ben daha fonksiyonun f'sini bilmiyor iken siz ve sizin gibi büyüklerim kim bilir ne konularla uğraşıyorlardı. Bu nedenle buraya yazmak istedim. Eğer bu konuda matematikçiler fikir ayrılığı yaşıyorsa bunu bilmek istiyorum. Cevapladığınız için teşekkür ederim.

---

@murad.ozkoc , Limit x'in a'ya sağdan ve soldan yaklaştığında sonucun da f(a) değerine yaklaşması, Süreklilik, limit x'in a'ya sağdan ve soldan yaklaşmasının yanında fonksiyonun o noktada tanımlı ve f(a) değerine eşit olması. Türev, bir f fonksiyonuna herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimidir. Çok daha farklı şekillerde tanımlanabilirler ama aklıma ilk bunlar geldi. Hatta kısaca şunu da yazayım. Limit sürekliliği, süreklilik türevi kapsar. Limit olmazsa ne süreklilik ne türev vardır. Süreklilik yoksa da türev yoktur. Yanlışım varsa affola. Geri dönüşünüz için sabırsızlanıyorum. :)

---

Sureklilikten ne anliyorsun peki ? Cok guzel bi sey dedin de ondan sordum

Ya yazmissin simdi farkettim kusura bakma.

---

Yaa, ne kadar güzel konuştun, kendi kendime sırıtıyorum şu an, egom okşandı galiba :)

Sırf tanımsız kalmasın diye tanım yapmak biraz zorlama geliyor bana. Tanımsızlık da rahatsız etmiyor. Ama belki bir gün çalıştığım bir konuda böyle bir konsept lazım olur, o zaman rahatsız olup ben de gelir buraya bakarım, kim bilir?

Diğer yandan söylediğin diğer şeyleri, akıl yürütmeni beğendim. O yüzden matematikten daha çok dilbilgisi gibi geliyor böyle şeyler bana.

"Böyle böyle bir şey var, buna türevlenebilir diyelim mi?"

"Hadi diyelim".

"Peki"

Ya da

"Böyle böyle bir şey var, buna türevlenebilir diyelim mi?"

"Yok demeyelim".

"Peki."

Sonuçta bizim ne dediğimizden, nasıl tanımladığımızdan bağımsız olarak bu şeyler var. Galiba o yüzden çok rahatsız etmiyor beni tanımsız bırakmak. Bilemedim.

---

1) Türev için bu linkteki açıklamalara bakabilirsin.

2) Süreklilik için bu linkteki açıklamalara bakabilirsin.

3) Limit için de bu linkteki açıklamalara bakabilirsin.

Ayrıca bu kanaldaki videolara da bakabilirsin.

Tüm bu verdiğim linklerdeki açıklamalara ve videolara rağmen sorunun yanıtı hala kafanda netleşmezse yine buradan tartışmaya devam ederiz.

 

Aşağıdaki tanımlar ve teoremler (hazmettiysen) kafandaki soru işaretlerini kaldıracaktır.

 

Tanım (Süreklilik): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $\underline{a\in A}$  olsun. $$f, a\text{'da sürekli}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$

Tanım (Limit): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$, $\underline{a\in D(A)}$ ve $L\in\mathbb{R}$ olsun. $$\lim_{x\to a} f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Tanım (Türev): $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$ ve $\underline{a\in A\cap D(A)}$ olsun. $$f, a\text{'da türevli}:\Leftrightarrow (\exists L\in\mathbb{R})\left(\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L\right)$$

Teorem: $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $\underline{a\in A\cap D(A)}$ olsun. $$f, a\text{'da sürekli}\Leftrightarrow \lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

Teorem: $A\subseteq \mathbb{R}$, $f\in \mathbb{R}^A$  ve  $\underline{a\in A\cap D(A)}$ olsun. $$f, a\text{'da türevli }\Rightarrow f, a\text{'da sürekli}$$

 

NOT: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

---

@Ozgur ,  @murad.ozkoc , Öncelikle ikinize de teşekkürlerimi sunuyorum. Bu cevapları yazdığım gün bahsettiğimiz konular hakkında pek az bilgi sahibiymişim. Halen az şey bildiğimi söyleyebilirim ama güzel olan tarafı, bilmediğimin farkına varmış olmamdı. Bu sayede soru bankalarındaki soruları eksiksiz çözebiliyor olmamın konuyu biliyor olduğuma dair bir kıstas olmadığını bir kez daha anladım. Lise seviyesinde verilen sözde tanımlar yeterli değiller. Merak ediyorum; Milli Eğitim Bakanlığı'nın ,,Prof. Dr.'' unvanlı eğitimcileri acaba "Bu çocuklar bunu anlamaz." diye mi düşünüyorlar da konuyu kolaylaştırma yoluna gidiyorlar ve gayet de anlamlı olan tanımı bazı durumlarda geçerliliği olmayan yarım yamalak tanımla değiştiriyorlar. Evet, sizin verdiğiniz tanımları anlayabilmek için büyük bir çaba gerekli. Limiti anlayabilmek kolay değil çünkü fazlasıyla soyut bir kavram. Şayet 4 senelik lise eğitimi dolu dolu geçseydi tüm bunları öğrenmeye daha yakın olurdum. ,,Sözde'' tanımı ,,Sözde'' eğitimci yapar. Oysa kolaylaştırmak, tanımın kalitesini düşürmeyi gerektirmemeliydi.

---

Matematikte her zaman bir kavramın tanımı, kesin ve net olarak verilmelidir. Ne eksik ne de fazla. Tabi bazı hocalar direk tanımı vermeden önce birtakım çalışmalar yaparak öğrenciyi, tanımı daha iyi anlaması, idrak etmesi için -türlü türlü çalışmalar yapmak suretiyle- hazırlayabilir. Her hocanın kendine göre bir yoğurt yiyişi vardır. "Başlangıçta (olması gerektiği gibi olmayan) tanım şöyle verilirse anlaşılması daha kolay olur" kolaycılığına kaçılmamalıdır. Tanım en başta kesin ve net olarak verilir, sonrasında geç anlayan veya anlamakta güçlük çeken öğrenciler için türlü türlü çalışmalar yapılabilir. "Öğrenciler anlamıyor" veya "anlamakta güçlük çekiyor" diye tanım esas bağlamından koparılarak olması gerekenden farklı olarak aktarılmamalıdır. Veriliyorsa da buna matematik denmemeli, otomatik, omomatik, bankamatik, vb. terimler kullanılabilir ama matematik adı altında olması gerekenden farklı şeyler ifade edilmemelidir. Ortaöğretimdeki durumumuz maalesef öğrenciyi çeşitli durumlara alıştırmaktan öteye gidemiyor. Mesela şu durum çok gözlemlediğim bir durumdur. Liseyi bitirmiş veya lise son sınıfta okuyan çoğu öğrenci -fonksiyonlarla ilgili- birçok limit, süreklilik, türev ve integral sorusuna iyi veya kötü, az veya çok bir yanıt verebiliyor ama "fonksiyon nedir?" sorusuna yanıt verebilen öğrenci yok denecek kadar az. Hatta yüksek lisansa giriş sınavlarında bile halen "fonksiyon nedir?" sorusuna yanıt veremeyen birçok öğrenci ile karşılaşıyoruz. Bir konu üzerinde çalışırken o konuda geçen kavramlara mutlaka hakim olmalıyız. Bir hocamız tanımın önemine dikkat çekmek için "matematikte tanım, evde hanım önemlidir" derdi hep. Dolayısıyla bir kavramın ne olduğunu tam olarak bilmiyorsak onunla ilgili bir akıl yürütme ve analiz yapmak da imkansız hale geliyor. Sonuç olarak da birtakım durumlara alıştırılmış, biraz hesap yapabilen, akıl yürütme yapmaktan uzak bireyler yetiştirmiş oluyoruz.

---

@murad.ozkoc, Yazdıklarınızı harfiyen okudum ve anladım. Tamamına katılıyorum ama ne diyeceğimi bilemiyorum, sizin burada yaptığınız iş maddi yönden ölçülemez. İlim Çin'de dahi olsa öğrenmek için oraya gitmem gerekirken sizin bana oturduğum yerden bir şeyler anlatmanız çok değerli. Başımızda sizler de olmasanız halimiz ne olacak, tahmin etmesi güç.

---

Ben katılmıyorum :)

Hatta ve hatta tam aksini düşünüyorum galiba. "Birtakım durumlara alıştırılmış , biraz hesap yapabilen, akıl yürütme yapmaktan uzak bireyler yetiştirmemek için" sıkı sıkıya tanımlar yapmaktan kaçınmalıyız bence.

Tanım ve kanıt en son aşama olmalı.

---

@polestar, @Ozgur'un yorumundan da anlayacağın üzere olaya farklı açıdan bakanlar olabiliyor. Belki de @Ozgur'un bakış açısı doğrudur bilemiyorum.

---

@murad.ozkoc Anladım hocam. :)

Sizin yazdığınız cevapta en başta a<b olmak üzere demişsiniz. Biz (a,b] yazdığımızda a'nın b'den büyük olma ihtimali var mıydı ki? Özellikle belirtme sebebinizi merak ettim.

---

$a=b$ olması durumunda $(a,b]=\emptyset$ ve $[a,b]=\{a\}$ olur ki bunlara dejenere olmuş aralık denir. Dejenere olmadığını garanti etmek için $a<b$ koşulunu ekledim. Aksi halde yazdıklarımın hepsi doğru olmazdı.

---

Terrence Tao nun konuyla uzaktan ilgili soyle bir yazisi var. Bana matematik bir dil gibi geliyor. Hatta programlama dili gibi geliyor. Derleyecisinin/ Yorumlayacasinin kendimiz oldugu bir dil. Tanimlar dildeki degisken/fonksyon/makro tanimlamak gibi bir sey. Ispatta yazdiginiz programin "calismasi". Ama onemli olan bu tanimlar degil sanki. En basta tabii ki programin "calismasi" ile ilgileniyoruz. Bunun icin "degiskenlerimizi/fonksiyonlramizi" duzgun dizayn edip anlamlamaliyiz ama gunun sonunda programin dogru calismasinin yaninda. ne anlattigi ve nasil anlattigi, anlatirken nasil yapilar kurdugu da onemli.

Answer 1

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$f:(a,b]\to \mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım. Fonksiyonun tanım kümesinin $(D_f=(a,b])$ tüm yığılma noktalarının oluşturduğu küme $[a,b]$ kapalı aralığıdır. Şimdi bu bilgiyi ve yorumlar kısmında bahsettiğimiz bilgileri de göz önünde bulundurarak sorunu yanıtlayalım.

 

1) Birincisi yorumlardaki süreklilik tanımı gereği (senin yazdığın tanım değil) bu $f$ fonksiyonu için sadece tanım kümesinde $((a,b]$ aralığında$)$ bulunan noktalar için fonksiyonun sürekliliğinden veya süreksizliğinden bahsedebilirsin. Burada fonksiyonun tanım kümesinde bulunan herhangi bir noktada sürekli olması veya olmaması hususu, fonksiyonun kuralına göre değişir.

Liselerde süreklilik kavramından bahsedilirken bazen "elimizi kaldırmadan grafiğini çizebildiğimiz fonksiyonlar süreklidir" önermesinin söylendiğini çoğumuz duymuşuzdur. Bu önerme eğer fonksiyonun tanım kümesi bir ARALIK ise doğrudur. Fonksiyonun tanım kümesinin bir ARALIK olması durumda ayrıca şu bilgi de doğrudur: 

"Tanım kümesi aralık olan bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir noktada sürekli olması için gerek ve yeter koşul o noktadaki limitinin fonksiyonun o noktada aldığı değere eşit olmasıdır." Bu bilgi artık bir teorem olarak karşımıza çıkıyor. Yani bu söylemi bir fonksiyonun sürekli olması tanımı olarak veremezsin. Çünkü bu söylem sadece tanım kümesi ARALIK olan fonksiyonlar için geçerli. Ele aldığımız fonksiyonların hepsinin tanım kümesi bir aralık olmayabileceğinden bu söylem bütün fonksiyonlar için geçerli olan bir önerme olmamaktadır. Örneğin $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun grafiğini elimizi kaldırmadan çizemememize karşın bu fonksiyon sürekli bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun sürekli olduğunu -yorumlarda verdiğimiz sürekli tanımı yardımıyla- göstermek çok kolaydır. Hatta bu fonksiyonun sürekli olduğunun kanıtı sitede mevcut. Siteyi biraz karıştırırsanız bulabilirsiniz.

 

Bazı matematikçiler fonksiyonun tanımlı olmadığı bir noktada fonksiyona süreksiz denmesinde bir sakınca bulunmadığını ifade ediyor. Ancak benim de benimsemiş olduğum görüş şu: Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliğinden veya süreksizliğinden bahsedebilmemiz için o noktanın mutlaka ama mutlaka tanım kümesine ait olması gerekir. Tanım kümesine ait olmayan bir noktada fonksiyon YÜREKLİDİR veya YÜREKSİZDİR söylemi ne kadar anlamsız ise SÜREKLİDİR veya SÜREKSİZDİR söylemi de o kadar anlamsızdır. 

 

2) İkincisi yorumlardaki limit tanımı gereği (senin yazdığın tanım değil) bu fonksiyon için sadece tanım kümesinin türev kümesinde $([a,b]$ kapalı aralığında$)$ bulunan noktalar için fonksiyonun $[a,b]$ kapalı aralığındaki herhangi bir noktada limitinin var olmasından veya var olmamasından bahsedebilirsin. Mesela bu fonksiyon için $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=?$$ sorusu $a\in D((a,b])=[a,b]$ olduğundan ANLAMLI bir soru olmasına karşın $$\lim\limits_{x\to a-1}f(x)=?$$ veya $$\lim\limits_{x\to b+2}f(x)=?$$ soruları $a-1\notin D(D_f)=[a,b]$ ve $b+2\notin D(D_f)=[a,b]$ olduğundan ANLAMSIZDIR. Ayrıca $x_0\in[a,b]$ olmak üzere bu $f$ fonksiyonunun $x_0$ noktasında limitinin var olması ya da olmaması hususu, fonksiyonun kuralına göre değişir.

 

Öte yandan $a$ gerçel sayısı, $(a,b]$ aralığının bir soldan yığılma noktası OLMADIĞINDAN $a$ noktasındaki sağdan limit bu fonksiyonun $a$ noktasındaki limiti olacaktır yani 

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$$

olacaktır.

 

3) Üçüncüsü yorumlardaki türev tanımı gereği (senin yazdığın tanım değil) bu fonksiyon için sadece hem tanım kümesinde hem de tanım kümesinin türev kümesinde $((a,b]\cap [a,b]=(a,b]$ aralığında$)$ bulunan noktalar için fonksiyonun $(a,b]$ aralığındaki herhangi bir noktada türevinin var olmasından veya olmamasından bahsedebilirsin. Mesela bu fonksiyon için $$f'(b)=?$$ sorusu ANLAMLI bir soru olmasına karşın $$f'(a)=?$$ veya $$f'(a-1)=?$$ veya $$f'(b+2)=?$$ soruları ANLAMSIZDIR. Ayrıca $x_0\in (a,b]$ olmak üzere bu $f$ fonksiyonunun $x_0$ noktasında limitinin var olması ya da olmaması hususu, fonksiyonun kuralına göre değişir. Burada $b$ noktasındaki türevin varlığını araştırırken fonksiyonun $b$ gerçel sayısından büyük olan gerçel sayılarda tanımlı olmamasından dolayı $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$ limitinin anlamlı olmadığını veya nasıl hesaplanacağı hususuna itiraz edebilirsin. Bu sorunu da şöyle aşarsın:$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$$ limiti yerine $$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(b)-f(b-h)}{h}$$ limitini hesaplarsın. Bu limit bir GERÇEL SAYI olarak mevcut ise fonksiyonun $b$ noktasındaki türevi bu limit değeridir dersin. Güncel yaşamda kullandığımız "teğet" terimi ile burada kullandığımız "teğet" terimi birebir aynı değil.  

Örneğin $f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:(0,1]\to\mathbb{R}$ fonksiyonu için $f'(1)=?$ sorusu anlamlıdır ve 

$$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1)-f(1-h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1-(1-h)^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{2h-h^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(2-h)=2$$ olduğundan $f$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevi mevcuttur ve $2$'dir.