Pappus teoreminin bazı Öklidyen biçimlerini de bu başlıkta sorabiliriz:
Teorem 1. $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta grupları, farklı iki doğru üzerinde olan altı farklı nokta olsun. O zaman $AB' \parallel A'B$ ve $ BC' \parallel B'C$ ise $AC' \parallel A'C$ olduğunu kanıtlayınız.
İspat: $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta gruplarını taşıyan iki doğrunun kesişimi $D$ olsun.
Yukarıdaki her iki şekilde de $AB' \parallel A'B$ olduğundan $\dfrac{|DA|}{|DB|} = \dfrac{|DB'|}{|DA'|} $ ve
$BC' \parallel B'C$ olduğundan $\dfrac{|DB|}{|DC|} = \dfrac{|DC'|}{|DB'|} $
olur. Bu iki eşitliği taraf tarafa çarparsak $$\dfrac{|DA|}{|DC|} = \dfrac{|DC'|}{|DA'|} $$
olup kenar-açı-kenar benzerliğinden $AC' \parallel A'C$ elde edilir.
Notlar:
1. Aslında bu ispatta da bir kusur vardır. $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta gruplarını taşıyan iki doğru kesişmeyebilir ve $D$ noktası oluşmaz. Bu doğrular birbirine paralel olursa, Pappus teoreminin bir başka dejenere biçimini elde etmiş oluyoruz. $ABA'B'$ bir paralelkenar olur ve bu durumda $AC' \parallel A'C$ olduğunu görmek çok kolaydır.
2. Bu tür dejenere durumları da kapsayacak genel çözümler vermek için projektif geometrinin kavramları kullanılır. Örneğin; paralel iki (veya daha fazla) doğru sonsuzda bir noktada kesişir, denir. Örneğin $d_1\parallel d_2$ ise kesişim noktası $X$ olsun. Başka yönde paralel olan doğrular da sonsuzda başka bir noktada kesişir. $d_3\parallel d_4$ ise bunların kesişim noktası da $Y$ olsun. Bu tür $X$, $Y$ noktaları da sonsuzda bir doğru oluşturur: örneğin $\ell_{\infty}$ ile gösterilirse $X, Y \in \ell_{\infty}$ olur ...gibi.
3. Pappus teoreminin bazı ispatları BURADA verildi.
Şimdi ispatı (bence) Teorem 1'e göre daha zor olan bir diğer Öklidyen biçimli Pappus teoremininin kanıtını (Öklidyen yöntemler kullanmak şartıyla) soralım:
Teorem 2: $\{ A, B, C \}$ ve $\{ A' , B' , C' \}$ nokta grupları, farklı iki doğru üzerinde olan altı farklı nokta olsun. $ BC' \cap B'C=Z$ ve $AC' \cap A'C = Y$ ve $AB' \parallel A'B$ ise $YZ \parallel AB'$ olduğunu kanıtlayınız.