Seni ulaştırmaya çalıştığım yer tam da burasıydı. "Sivri nokta" ve "keskin geçiş" vs gibi terimler matematiksel terimler değil. Böyle söylemler ortaöğretimde sıkça zikrediliyor. Ortaöğretimde sıkça zikredildiği için öğrenciler tanımdan ziyade bu tür söylemleri -muhtemelen daha pratik buldukları için- benimsiyorlar. Bu yüzden benim yorumlarda verdiğim fonksiyon ile karşılaştıklarında "sivri nokta var" veya "keskin geçiş var" demek suretiyle "o noktada türev yoktur" yanıtını vererek yanılıyorlar. Asıl tanıma sadık kalmak yerine bu tür söylemlere daha çok sarılmak kavramın da yanlış anlaşılmasına sebep oluyor ve bu yanlış algıyı kırmak çok da kolay olmuyor. Bu söylemler matematiksel olmadığı için "sivri nokta" ve "keskin geçiş" vs gibi söylemler -yukarıdaki yorumlarda da gördüğün üzere- herkes tarafından aynı şekilde algılanmayacaktır.
Oysa tanım gayet açık: $A\subseteq\mathbb{R},$ $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A\cap D(A)$ (yani $a$ hem $f$ fonksiyonunun tanım kümesine ait hem de tanım kümesinin bir yığılma noktası) olmak üzere eğer $$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
limiti bir GERÇEL SAYI olarak mevcut ise bu limit değerine $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki türevi denir ve $f'(a)$ ile gösterilir. Bu tanımı geometrik olarak yorumladığımızda da $f'(a)$ gerçel sayısının fonksiyona $(a,f(a))$ noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi olduğunu görüyoruz. Dolayısıyla "sivri nokta var mı?" veya "keskin geçiş var mı?" sorularından ziyade $``\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ limiti gerçel sayı olarak mevcut mu?" sorusunun yanıtı araştırılırsa ve bu soru yanıtlanırsa sorun ortadan kalkacaktır.