Aşağıdaki bilgilere göre, 3.dereceden $P(x)$ polinomunun başkatsayısı kaçtır?

Question

*$P(x)$'in $(x-2)$ ile bölümünden kalan $2$'dir.
*$P(x+1)$'in $(x-2)$ ile bölümünden kalan $45$'tir.
*$P(x+2)$'in $(x-2)$ ile bölümünden kalan $138$'dir.
*$P(1) = -9$.

İlk 3 bilgi arasında bir kural olduğunu varsaydım ama kuralı bulamadım.Yardımcı olurmusunuz?

Comments

Soruda eksik bir şey var.

Bu verilenleri sağlayan sonsuz çoklukta polinom vardır (hepsinin başkatsayısının aynı olmadığına bahse girebilirim).

Sanırım polinomun 3. derece olduğu da verilmiş olmalı (daha önceki soruda öyle idi), o zaman soru çözülebilir.

---

Hocam evet 3.derece olacak dikkat eksikliğim var kusura bakmayın.

---

Çözüm biraz uzun olacak.

$P(1)=-9$ oluşundan, $P(x)$ in $x-1$ e bölümünden kalanı bulabilir misin?

$P(x+1)$ in $x-2$ ye bölümünden kalanı verilmiş, $P(x)$ in $x-3$ e bölümğnden kalanı bulabilir misin?

$P(x+2)$ in $x-2$ ye bölümünden kalanı verilmiş, $P(x)$ in $x-4$ e bölümğnden kalanı bulabilir misin?

Daha sonra, tüm bunları kullanarak, $P(x)$ in $(x-1)(x-2)(x-3)$ e bölümünden önce kalanı daha sonra da bölümü bulabilir misin?

---

Hocam burayı nasıl yapacağımı bilmiyorum.Bu bölümden kalan 2.dereceden bir $K(x)$ polinomu.$K(1)=-9$, $K(2)=2$ ve $K(3)=45$ bunları biliyoruz.Sadece bu bilgilerle polinomu nasıl bulacağım?Kalanı buldum diyelim.Bölüme ulaşmak için ne yapacağımı da bilmiyorum.

---

Eğer istediğiniz kalan polinomunu $ax^2+bx+c$ şeklinde açıp değerleri yazıp bulmamsa $P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3).B(x)+ 16x^2-37x+12$ geliyor.Bölümü nasıl bulacağımı halen bilmiyorum.

---

 $B(x)$ in sabit (ve $a\cdot B(x)=P(x)$ in baş katsayısı) olduğunu biliyorsun.

ve

$P(4)$ ü biliyorsun.

Bunlardan $a\cdot B(x)$ sabitini bulabilirsin.

---

Orada $a$ yazmaya gerek yok, sadece $(x-1)(x-2)(x-3)$ e bilsen daha kolay olur, ben bunu demiştim daha önce.

---

$a.B(x) = 3$ geldi hocam.Lakin cevap anahtarı 5 demiş.Yanlış olsa gerek?Tüm işlemleri baştan tekrar yaptım çünkü.
Hocam birde sorularım var.

$a.B(x)=P(x)$'in katsayısı nasıl dedik?(Anladım hocam burayı.Ekstradan $a$ dediğim için kafam karıştı dediğiniz gibi gerek yoktu.)

Birde neden $(x-1)(x-2)(x-3)$'a böldük mesela neden $(x-1)(x-2)(x-4)$ değil?

---

Oraya $a$ yazmak gerçekten gereksiz.

$(x-1)(x-2)(x-4)$ e bölmek de aynı işi görür.

$(x-2)(x-3)(x-4)$ e bölmek de aynı işi görür.

$(x-1)(x-3)(x-4)$ e bölmek de aynı işi görür.

---

Anladım hocam.Ufkum açıldı.Çok sağolun.

Answer 1

Azıcık farklı bir çözüm:
    
    $P(1)=-9,\ P(2)=2,\ P(3)=45,\ P(4)=138$ olduğu anlaşılıyor.
    
    Bölme algoritmasından:
    
    $P(x)=(x-1)Q(x)-9,\ (Q(x):2.\text{ derece})$ olur.
    
    $P(2)=2=Q(2)-9$ dan $Q(2)=11$, $P(3)=45=2Q(3)-9$ dan $Q(3)=27$, $P(4)=138=3Q(4)-9$ dan $Q(4)=49$  bulunur.
    
    $Q(x)=(x-2)R(x)+11, (R(x):1.\text{ derece})$ olur.
    
    $Q(3)=27$ oluşundan $R(3)=16$, $Q(4)=49$ oluşundan $R(4)=19$ elde edilir.
    
    Bunlardan, $R(x)=3x+7$ olarak bulunur.
    
    $P(x)=(x-1)((x-2)(3x+7)+11)-9=3x^3+\cdots-6$ olur.