Vektör Uzayı Olarak Sonlu Cisimler

Question

Bir sonlu cismin eleman sayısının bir $p$ asalı için $p^n$ olmasını izah eden akıl yürütme şöyle:

Her sonlu cisim içinde $\mathbb{F}_p$'ye izomorf bir cisim bulmak mümkün. Sonra tüm cismi bu $p$ elemanlı cisim üzerine vektör uzayı olarak görüyoruz.

Anlamadığım nokta şu: bir $\mathbb{F}_{p^n}$ cismini başka sonlu cisimler üzerine vektör uzayı olarak neden göremeyiz? Mesela $\mathbb{F}_q$ üzerine görebilirsek eleman sayısı $q^n$ olur. Böyle bir $q$ asalı olmadığını gösterebilir miyiz?

Comments

ya ben soruyu tam anlamadim galiba. $|\mathbb{F_p}| = p$ ve $|\mathbb{F}_{p^n}|=p^n $ sanirim.

$\mathbb{F_{p^n}}$ i, $\mathbb{F_q}$ uzerine $m$ boyutlu bir vektor uzayi olarak gormek istiyorsun ve $q \neq p \land n \neq m$ olsun mu istiyorsun?

Konuyu pek bilmiyorum ama soyle seyler diyesim var

$\mathbb{F}_{p^n} $ elemanlarini $p$ li gruplara ayirabiliriz ve $n$ tane grup olur yada $1$ tane $p^n$ eleman sayili gruba ayirabiliriz. Demek ki gordugumuz vektor uzayinin boyu ya $n$ olacak yada $1$. ya buralarda bir yerde her dogal sayinin tek bir asal carpanlara ayrimi oldugu falan bilemedim

ya sacmaliyorum galiba gene

---

cismin karakteristiği eğer p ise mertebesi $p^n$ olur

---

Eğer $p$ ve $q$ asal ise ve $p^n = q^m$ olacak şekilde $m$ ve $n$ varsa, ya $p=q$ olmalı ya da $m=n=0$ olmalı? Soru bu oluyor dimi?

---

@Ozgur konudan biraz bagimsiz olarak 0 boyutlu vektor uzayi var mi ? bana yok gibi geliyor nedense

---

Aslında şunu soruyorum, örneklerle söyleyeyim:

$\mathbb{F}_{25}$ cismini ele alalım. Değişmeli grup yapısıyla birlikte (mesela) $\mathbb{F}_3$ üzerine vektör uzayı olarak görebilirsek $3^n$ elemanlı olması gerekirdi.

(25 ve 3 durumu için dağılma özelliğini kullanarak bir absürdlük buldum. Ama her asal için bulabilir miyiz?)

---

Evet.

$m, n >0$ olacak şekilde doğal sayılar al ve $p^m = q^n$ olduğunu düşün. Bu eşitliğin sol tarafı $p$ asalına bölünüyor, dolayısıyla sağ tarafı da bölünmek zorunda.

Ama $p | q^n$ ise $p=q$ olmalı. Ya da kontrapozitifi daha tatlı. Ve tümevarım ile falan göstermek kolay.