Question

$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin x-\tan x}{x^3}=?$

L'hospital ile kolaylıkla çözülebilir ama ben şu yolu kullanmak istiyorum $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin x}{x}=1$. Bundan dolayı yukarıyı şuna benzettim.

$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}. \dfrac{1}{x^2}-\displaystyle\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\tan x}{x}. \dfrac{1}{x^2}$ Benim bu yazdıklarımdan sonra şunu elde ediyorum $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{1}{x^2} - \displaystyle\lim\limits_{x\to 0  }\dfrac{1}{x^2}$  , $\infty-\infty$ olmuyor mu ? Nerede yanlışım var? Bu arada sanırsam limitin sonucu $1/2$

Comments

Limit sonsuza mi gidiyor sifira mi?

---

Düzenledim, yanlış yazmışım dediğiniz gibi $0$ olacak

---

$x=0$ civarında $sinx \sim x-\dfrac{x^3}{3!}$ ve $tanx \sim x+\dfrac{x^3}{3}$ oluşunu kullanabilirsiniz..

---

Benim yaptıklarımla niye bulamıyorum? Nerede hatam mevcut

---

$\infty-\infty$ belirsizlik durumuna ulasmissin. Limiti bulmak icin baska yollar denemen gerek.

---

Lisansta analiz veya calculus derslerinde verilen teorem "Eğer $f$ ve $g,$  fonksiyonlarının limitleri mevcut  ise $f\cdot g$ fonksiyonunun da limiti mevcuttur ve $\lim\limits f.g = \lim\limits f\cdot \lim\limits g$ olur" der. Senin ele aldığın soruda $\frac{1}{x^2}$ kuralı ile verilen fonksiyonun $0$ noktasında limiti yok. Dolayısıyla

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}$$ yazamazsın. Buna hakkın yok.

Answer 1

$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin x-\tan x}{x^3}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\tan x}{x} \dfrac{1}{x^2}=\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}\left( \dfrac{1}{x^2}-  \dfrac{1}{x^2\cos x}\right)$

$=-\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x\cos x}\left( \dfrac{1-\cos x}{x^2}\right)$

$=-\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x\cos x}\left( \dfrac{1-\cos x}{x^2}\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}\right)$

$=-\displaystyle\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{\cos x(1+\cos x)}\left( \dfrac{\sin^2x}{x^2}\right)=-\dfrac12$