Reel Eşlenik Kök Teoremi

Question

Kompleks eşlenik kök teoremi'ni iyi biliyoruz. Nette reel eşlenik kökler ile ilgili olması gerektiğini düşündüğüm bir önermeyi aradım ama bulamadım. Bu önermeyi ve düşündüğüm ispatımı yazacağım. Eğer önerme yanlışsa yanlışlayan bir örnek vermenizi, eğer önerme doğruysa ispatını da içeren bir çözüm/bağlantı paylaşmanızı rica ediyorum. Verdiğim ispat özensiz/kusurlu olabilir, düzeltilecek kısımlar olursa belirtebilirsiniz. Başlayalım:

 

Önerme: Rasyonel katsayılı $n$-inci dereceden $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$ polinom denkleminin bir kökü $x=p+\sqrt{q} \iff $ olması için gerek ve yeter şart $x=p-\sqrt{q}$ sayısının da bir diğer kök olmasıdır. (Burada $p, q$ rasyonel sayılar olup $q>0$ sayısı bir rasyonel sayının karesine eşit değildir.)

 

İspat: $x=p+\sqrt{q}$ köküne sahip en küçük dereceli rasyonel katsayılı polinomun derecesi ($1$ olamayacağına göre) $2$'dir. Bu denklemi oluşturmak için $x-p = \sqrt{q}$ eşitliğinin iki tarafının karesini alalım ve $x^2 - 2px + p^2 - q = 0$ denklemini oluşturalım. O halde $P(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}$ polinomu $x^2 - 2px + p^2 - q$ çarpanına sahiptir. Diğer bir deyişle, $P(x)=(x^2 - 2px + p^2 - q)Q(x)$ olacak biçimde rasyonel katsayılı bir $Q$ polinomu vardır. $x=p-\sqrt{q}$ sayısı da aynı $x^2 - 2px + p^2 - q = 0$ denklemini sağladığından bu sayı $P$ polinomunun bir diğer köküdür. Aynı ispat adımları $x=p-\sqrt{q}$ sayısının polinom denkleminin bir kökü olduğu varsayılarak da yapılabilir. Böylece, çift yönlü gerektirme doğrudur.

 

Not: $q=0$ iken önerme yeni bir kök üretmez. $q<0$ iken kompleks kökler vardır ve kompleks eşlenik kök teoreminin özel bir durumu elde edilmiş olur.

 

Comments

Burada buldum. Aynı sorudan birkaç tane daha sorulmuş. Bir kitapta alıştırma olmalı. Dummit and Foote belki?

---

Özgür hocam merhaba. Bu teoremin uygulaması olan soruları ünv hazırlık öğrencilerime polinom içerikli derslerimde sunuyorum. Mat olimpiyatı çalıştırdığım kuvvetli bir öğrenci için hazırladığım problem listesinde teoremin kendisine yer vereyim dedim. Sonra reel eşlenik kök teoremine referans aramaya karar verdim. mathwold, Wikipedia, proofwiki, brilliant, AoPS sitelerinde de göremeyince "neden bu teoremi nette bulamıyorum?" sorusu oluştu.

İlginiz için çok teşekkürler ☺️

Answer 1

İspat 2: bir karmaşık sayının eşleniği nedir başlıklı soruda tanımladığım rasyonel katsayılı eşlenik kavramı ile ilgili kısımdan alıntı yaparak ilerleyelim: 

Her rasyonel sayının eşleniğini kendisi olarak tanımlayalım. Ayrıca $a, b$ rasyonel sayılar ve $b>0$ bir rasyonel sayının karesinden farklı olmak üzere $z = a + \sqrt{b}$ ve $\overline{z} = a- \sqrt{b}$ gerçel sayılarına birbirinin eşleniği diyelim. Bu durumda, $z = a \mp \sqrt{b}$ ve $w = c \mp \sqrt{b} $ gerçel sayıları için de

$$  \overline{z\mp w} = \overline{z}\mp \overline{w} , \quad \overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot \overline{w} , \quad  \overline{z^n} = (\overline{z})^n $$
olur. Burada  $n$ bir pozitif tam sayı, $a, b, c$ rasyonel sayılardır. Elbette, $b>0$ bir rasyonel sayının karesine eşit değildir.

 

$\bullet$ $\overline{z\cdot w}$ için kısmi ispatı yapalım: $\overline{z\cdot w} = \overline{\left(a + \sqrt{b}\right)\left(c + \sqrt{b}\right)} = \overline{ ac + b + \sqrt{b}(a+c)} = ac + b - \sqrt{b}(a+c) = \left(a - \sqrt{b}\right)\left(c - \sqrt{b}\right) = \overline{z}\cdot \overline{w}$.

Kısmi dedim, çünkü $z$ bir rasyonel sayı, $w = c + \sqrt{b} $ veya $z = a - \sqrt{b} $, $w = c + \sqrt{b} $ gibi durumlarda da bu eşitlikler sağlanıyor. Yine $\left(a + \sqrt{b}\right)^n = x + y\sqrt{b}$ ise $\left(a - \sqrt{b}\right)^n = x - y\sqrt{b}$ olması gerektiği de tümevarım ile ispatlanabilir.

 

Buna göre, $P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x +a_{0}$ polinomunun bir kökü $z = a + \sqrt{b}$ olmak üzere,

\begin{equation*}
\begin{split}
 P(\overline{z}) &  =  a_{n}(\overline{z})^{n}+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+\cdots +a_1(\overline{z}) +a_{0}  \\
  & = \overline{a_{n}}(\overline{z^{n}}) + \overline{a_{n-1}}(\overline{z^{n-1}})+\cdots + \overline{a_1}(\overline{z}) + \overline{a_{0}} \\
  & = \overline{a_{n}z^{n}} + \overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots + \overline{a_1z} + \overline{a_{0}} \\
  & = \overline{ a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots + a_1z +a_{0}} \\
  & = \overline{P(z)} = \overline{0} = 0 .
\end{split}
\end{equation*}

 

elde edilir.

 

Not: Rasyonel katsayılı eşlenik kavramını neden böyle tanımlamak istediğim ile ilgili ana fikri açıklayabiliriz. Herşeyi, kompleks eşlenik kök teoreminin ispatındaki fikirleri kullanabilmek için yaptım. $z$'yi karmaşık sayı ve $a_i $'leri gerçel sayı alınca kompleks eşlenik kök teoreminin iyi bilinen ispatı ortaya çıkıyor.