$a_{n}$ n'inci sıradaki kare olmayan pozitif tam sayı ise $a_{n}=n+|\sqrt{n}|$ gösteriniz

Question

$a_{n}$ kusursuz kare olmayan $n.$ pozitif tam sayı olsun.

$|x|$ , $x$ reel sayısına en yakın tam sayıyı göstersin.

O halde $a_{n}=n+|\sqrt{n}|$ olduğunu gösteriniz.

 

İlk defa böyle bir ispatla karşı karşıya olduğum için maalesef ne yepabileceğimi anlayamadım. İlk adım olarak ne yapabilirim onu da kestirmekte çok zorlanıyorum.

Lütfen bana bu tarz soruları nasıl çözebileceğim hakkında yardım edebilir misiniz? Çok teşekkür ederim şimdiden.

Comments

İlk $m$ doğal sayı arasında tam kare  olmayanlar kaç tane?

Bu tamsayıya $k$ dersek, $a_k=?$

---

ilk m doğal sayı arasında tam kare olmayan $k=m-[\sqrt{m}]$ adet sayı vardır ([x] tam değer fonksiyonu, yani $\sqrt{m}$ sayısının tam kısmını ifade ediyor)

O halde de $a_k=a_n$ olmalıdır.

 

Peki bundan sonra @DoganDonmez hocam?

---

(Düzeltilmiş şekli ile) $k=m-\lfloor \sqrt m\rfloor$ tamam.

Ama, $a_m=a_n$ nerden çıktı? O eşitlikde $n$ yok ki?

---

$k=m-[m]$ değil hocam. $k=m-[\sqrt{m}]$ olmalı. Ben mi yanlış düşündüm acaba?

 

İkinci sorunuzu sanırım yanlış anladım:) $a_k$ 'yi $a_n$ cinsinden ifade et diye yordum. Sanırım sormak istediğiniz: $k$ sayısı kaçıncı tam kare olmayan pozitif tam sayıdır?

O da $a_k=k-[\sqrt{k}]=(m-[\sqrt{m}])-[\sqrt{m-[\sqrt{m}]}]$ sayısı olacaktır.

 

Peki bu bilgi bize ne sağlayacak ki hocam? İşler daha çok karıştı gibime geliyor.(

---

Evet o eşitliği yanlış yazmışım. Elbette, senin yazdığın gibi $k=m-\lfloor \sqrt m\rfloor$ olmalıydı (şimdi DÜZELTTİM)

---

$a_k=k-\lfloor \sqrt k\rfloor$ nerden geldi?

O eşitlikten uygun bir $n$ için, $a_n$ elde edilebilir.

---

$k$ tam kare ise $a_{k-\lfloor\sqrt k\rfloor+1}=$?

$k$ tam kare değilse $a_{k-\lfloor\sqrt k\rfloor+1}=$?

---

Baştan anladıklarımı yazayım hocam, siz bana nerede yanlış yaptığımı söyleyebilirseniz çok sevinirim.

Pozitif tam sayılar arasından $a_n$ ifadesi tam kare olmayan $n'inci$ sayıyı ifade etmekte. Yani;

$K=$ { $ 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19 ...,a_n $ } Bu K kümesinin soldan sağa her bir $n'inci$ elemanı $a_n$ adayıdır. 

Örnek olarak $a_3=5$  ,  $a_7=10$ verilebilir. 

Ardından siz bana ilk m pozitif tam sayı arasından tam kare olmayan sayıların adedine k dedirterek bu sayıyı nasıl bir eşitlikle ifade edebileceğimi buldurdunuz.

Bu k sayısının $k=m-[\sqrt{m}]$ olduğunda anlaştık. 

Sonrasında $a_k$ ifadesini bulmamı istediniz. Yani, tam kare olmayan pozitif tam sayılar arasından $k'nin$ kaçıncı sırada olduğunu bulmamı istediniz. 

Bu da $k-[\sqrt{k}]$ ifadesiyle bulunabilir demişim ancak burada hata yaptığımı şimdi fark ettim. Bu ifade bana $a_k$ sayısını yani K kümesindeki $k'ninci$ tam sayıyı vermez. Bana sadece $k$ sayısının K kümesinde kaçıncı sırada olduğunu verir. Bu iki önermenin aynı olmadığını şimdi gördüm hocam.

O halde $a_k=m$ olmaılıdır diye düşüüyorum. Çünkü, İlk m doğal sayı arasından tam kare olanları çıkardığımızda bize K kümesinin kendisini verecektir. Bunlar da m sayısına kadar sıralanacaktır.

Örnek olarak; 

$m=19$ seçelim.  İlk 19 pozitif tam sayı arasından tam kare olmayan $k=19-[\sqrt{19}]=15$ sayı vardır. 

Şimdi de $a_k=a_{15}$ ifadesini bulalım, yani tam kare olmayan pozitif tam sayılar arasından $15'inci$ tam sayıyı arıyoruz. K kümesine baktığımızda bu sayı da 19'un ta kendisidir. 

Yani $a_k=m$  ifadesi 19 için doğrudur, bir çelişki yaratmadı. 

 

Son yazdığınıza gelecek olursam benim soruyu yukarıda anladığım şekilde, k sayısının tam kare olup olmamasının bir şey ifade etmeyeceğini düşünüyorum. Çünkü sadece K kümesinde kaçıncı sırada olduğunu bilmediğimiz bir sayıyı bulmaya çalışıyoruz.

 

Mantıksal bir yanlışım mı var sayın @DoganDonmez Hocam? 

---

Böyle gösterilebiliyor ama, bir de Matematiksel Tümevarım ile göstermeyi dene.

---

Bence ispata gerek yok hocam, yazdığım ifadem mantıksal açıdan bakınca da doğru. Karşıt örnek de verilemez. Ben hala çözüme gidecek yolu anlayamadım :/

---

Matematik öyle olmaz. İspatlamadan  doğruluğundan emin olamayız.

---

$ a_{m-\lfloor \sqrt m\rfloor}=\begin{cases}
        m & m\text{ tam kare değilse}\\m-1 & m \text{ tam kare ise}
    \end{cases} $

(Edit $m+1$ i $m-1$ olarak düzelttim.

---

"Karşıt örnek de verilemez" demişsin. Nasıl emin olabiliyorsun?

Answer 1

Bu soru göründüğü (daha doğrusu, benim ilk bakışta sandığım) kadar basit değil.
    Benim aşağıdaki çözümümde, yorumdaki ipucunu kullanarak, Ortaöğretim düzeyinde bilgiler kullanacağım ama çözüm biraz uzun olacak, belki daha kısa bir çözümü de vardır.
    Önce şu notasyonda anlaşalım (pek standart değil):
    $[x]:\ x$ e en yakın tamsayıyı göstersin (aslında $ 1\over2 $ gibi buçuklu sayılarda belirsizlik var, ama biz sadece $ n\in\mathbb{N} $ iken $ [\sqrt n] $ durumunu kullanacağız ve $ \sqrt n $ asla buçuklu olmaz.)
    (Aslında, iyi bilinen tam değer cinsinden, $  [x]=\lfloor x+{1\over 2}\rfloor $ olur. O zaman buçuklu sayılar yukarıya yuvarlanır)
        Bundan sonra her harf, aksi belirtilmedikçe, bir pozitif doğal sayıyı gösteriyor.
    Bu fonksiyonun şu özelliği kolayca gösterilebilir:
     $ k^2-k< n\leq k^2+k $ ise $ [\sqrt n\,]=k $ olur.
    Bir de yorumlarda yazdığım(a çok benzeyen) şu eşitlikler kolay:
    $ a_{m-\lfloor \sqrt m\rfloor}=\begin{cases}
        m & m\text{ tam kare değilse}\\m-1 & m \text{ tam kare ise}
    \end{cases} $

    $ k^2-k\leq m< k^2 $ olsun.
     $ \lfloor\sqrt  m\rfloor=k-1 $ olur.
     $k^2-2k+1=(k-1)^2\leq m-\lfloor \sqrt m\rfloor=m-k+1< k^2-k+1  $ olur.
     ($ \lfloor m\rfloor=k $:sabit olduğu için) $ (k-1)^2 $ (dahil) ile $ k^2-k+1 $(hariç) arasındaki her $ n $ tamsayısı $ n=m-\lfloor\sqrt  m\rfloor  $ şeklinde  yazılabilir ve $ [\sqrt n\,]=k-1 $ olur.
     Öyleyse, $ (k-1)^2 $ (dahil) ile $ k^2-k+1 $(hariç) arasındaki her $ n $ için, $ a_n=a_{m-\lfloor\sqrt  m\rfloor}=    m  $ olur. Bunu düzenleyelim. $a_n= m=n+\lfloor\sqrt  m\rfloor=n+k-1=n+[n] $ olur.
     Şimdi de $ k^2\leq m< k^2+k $ olsun. $ \lfloor\sqrt m\rfloor=k $ olur.
     Öncekine benzer şekilde:
     $ k^2-k\leq m-k=m-\lfloor \sqrt m\rfloor<k^2 $ olur. Öncekine benzer şekilde, $ k^2-k $ (dahil) ile $ k^2 $ (hariç) arasındaki her $ n $ tamsayısı $n=m-\lfloor \sqrt m\rfloor  $ şeklinde  yazılabilir ve  $ [\sqrt n\,]=    \begin{cases}
         k-1 & m=k^2\text{ ise}\\ k & m\neq k^2 \text{ ise}
     \end{cases}  $ olur.
     Öyleyse, $ k^2-k $ (dahil) ile $ k^2 $(hariç) arasındaki her $ n $ için, $ a_n=a_{m-\lfloor\sqrt  m\rfloor}=    \begin{cases}
         m-1 & m=k^2\text{ ise}\\ m & m\neq k^2\text{ ise}
     \end{cases}  $ olur.
 Bunu düzenleyelim, her iki durumda da,  $ a_n=n+[n] $ olur.

1. EK: (Açıkça doğru olan) Her $n$ pozitif doğal sayısı için, $(k-1)^2\leq  n<k^2$ olacak şekilde (biricik) $k$ doğal sayısının var olduğunu kullanıyorum.
2. İspatın fikri: her $n$ pozitif doğal sayısının $m-\lfloor\sqrt m\rfloor$ şeklinde ($n=k^2-k$ ise iki şekilde) yazılabilmesi

Comments

Çok teşekkür ederim hocam. İnceleyeceğim cevabınızı ardından tekrar yorum yapacağım:)