Silindir ve Koninin Hacimlerini bulabilir miyim?

Question

Çift katlı integral kullanarak, çemberin alanını ve kürenin hacmini polar koordinantları kullanarak bulabildim.

Koni ve Silindir için de bulabilir miyim? Biraz araştırdım ama net oturtamadım yardımcı olur musunuz?

Comments

koniyi ve silindiri parametrize ettiniz mi ? silindir icin mesela silindir koordinat sistemine baktiniz mi?

---

Üç katlı integrallerle uğraşmak istemedim. Çift katlı integral ile kullanarak hesaplamak mümkün mü?

---

Elbette bulunabilir. Tek katlı (Riemann) integral ile bile bulunabilir. İkisi de dönel cisim.

Sanırım sen alt ve üst tabanı eğri yüzey olarak düşünüyorsun, düz (yatay düzlem) olarak düşün, çok kolay olacak.

---

Hocam biraz daha ayrıntı verebilir misiniz?

---

$\int_{0}^{h} \pi r^2 dx$ diye düşünmüştüm.

---

Cevaptan farklı olarak daha kolay yol ne önerebilisiniz?

---

$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R}  \rho ^2 sin(\phi) d\rho d\theta d\phi = \frac{4}{3} \pi R^2$

Bu şekilde kürenin hacmini buldum. Bu yol ile koni ve silindirin bulabilir miyim?

Answer 1

Pappus centroid teoremi der ki:

1.  Bir $C$ egrisinin dondurulmesi ile olusan yuzeyin alani $A=sd$.
   Burada $s$ $C$ egrisinin uzunlugu, $d$ ise $C$ nin agirlik merkezinin ne kadar hareket ettigi
2. Bir $F$ seklinin dondurulmesi ile olusan cisimin hacmi $V=Ad$.
   $A$ burada $F$ in alani, $d$ ise $F$ in agirlik merkezinin ne kadar hareket ettigi

Silindir icin $C$ egrimiz $y$ eksenine $r$ uzakliginda paralel $h$ uzunlugunda bir dogru parcasi olsun. yani $A=h\cdot 2\pi r$.

 

Gene silindir icin $F$ seklini, $r\times h$ lik bir dikdortgen secebiliriz. Agirlik merkezimiz $y$ eksenine $\frac{r}{2}$ uzaklikta.Yani $V = rh\cdot2\pi\frac{r}{2} = \pi r^2 h$

 

Koni icin ayni islemler alan icin $x=y$ dogrusu, hacim icin ise bir dik ucgen ile yapilabilir.

 

Duzenleme dayanamadim koninin hacmini de hesapladim. $F$ seklimiz $h \times r$ lik y eksenine dayanmis bir dik ucgen olsun. Bunu y ekseni etrafinda cevirecegiz. Bu ucgenin agirlik merkezinin $x$ koordinati $\frac{r}{3}$ dur. $y$ ekseni etrafinda bir tur donunce, katettigi mesafe $2\pi\frac{r}{3}$ $F$ in alani ise $\frac{hr}{2}$, yani koninin hacmi $V = 2\pi\frac{r}{3} \cdot \frac{hr}{2} = \frac{\pi hr^2}{3}$

Comments

integrali agirlik merkezini bulurken kullanabiliriz (gerek yok ama)