$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}e^n=?$

Question

  Cevap kök(e).

Answer 1

$\lim(\frac{n}{n+1})^{n^{2}}.e^{n}$=$\lim (1-\frac{1}{n+1})^{n^{2}}.e^{n}$=$lim (e^{\frac{-n^{2}}{n+1}}).e^{n}$=$lim e^{\frac{n}{n+1}}$=e çıkıyor

Comments

Ben farklı bir yoldan cevabı bulabildim hocam. e^n ifadesini n^2 parantezinin içine e^(1/n) şeklinde attım. Daha sonra limit almaya başlayınca devamı geliyor zaten, cevap kök(e) buldum. Uğraştığınız için sağolun ama bir hatanız var sanırım.

---

Evet ben de $e$ buluyorum.

---

Bakacaklar içinde uzun uzun yazayım dedim. Bu şekilde kök(e) buldum. Lhospital alırken şans eseri 1/2 bulmuşta olabilirim, bir kaç kez kontrol ettim hata bulamadım. Siz  nasıl e buldunuz hocam? 

---

Burada, dikkatsizce yapıldığında, limitlerde yapılması çok tehlikeli bir işlem yapılıyor ve bu işlem hatalı sonuca yol açıyor.

$(1-\frac n{n+1})^{n^2}$ yerine (ona eşit olmayan ama aynı limite ($0$) sahip)  $e^{\frac{-n^2}{n+1}}$ yazılyor ve bu hataya yol açıyor. 

Çünki $0\cdot\infty$ belirsizliğinde, limiti 0 olan fonksiyonu değiştirmiş oluyoruz.

Limit, Taner in çözümünde bulduğu gibi $\sqrt{e}$.

Bu işlemin, nasıl olup ta bir hataya yol açtığı aşağıdaki örnekte daha net görünüyor:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$ ama payı, aynı limite sahip ama ona eşit olmayan, $x^2$ ile değiştirirsek 

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=0$ (Burada $\frac00$ belirsizliğinde fonksiyonlardan birini, aynı limite sahip ama farklı bir fonksiyon ile değiştirdik.)

 Belirsizlik durumu olmasa muhtemelen bir sorun olmayacaktı.

---

$\lim(\frac{n}{n+1}).e^{\frac{1}{n}}$ ifadesi tanerin çözümünde sıfıra eşit çıkmış bunasıl olmuş ? n sonsuza giderken $n/n+1$ ->1 ve $e^{1/n}$->1 e ve 0/0 belirsizliği gelmez 1/0 belirsizliği  gelir orda bir hata var sanrm yada bende bir hata var ?

---

Yanlış baktınız sanırım. ln içerisinde o ifade. 

---

Ha tamm  dalgınlk ln'i hesaba hiç katmıyorm :)