1 denklem ve 8 değişkene bağlı olası sıralı 8 lilerin sayısı

Question

$x_1+x_2+x_3+\dots+x_8=15$ denkleminin doğal sayılardaki çözüm sayısı?

Burada tekrarlı permütasyonada girilse epey uzun çıkıyor. Kısa bir yöntemi var mı?

Comments

Suna Bi bak bakalim. Site de benzer sorular vardi

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)

---

https://matkafasi.com/39180/cdots-sartlarini-saglayan-negatif-olmayan-tamsayilari-vardir#a39367

---

Bu soru diğer sorudan farklı, sıralı 8 lilerin sayısı sorulmuş. Bunun standart bir formülü var. Sanırım ilk bağlantıda o da var.

---

Ama yine de seri acilimi kullanilabilir.. Sadece degiskenler icin sinirlama yok.

Answer 1

$x_1+x_2+x_3+\dots+x_k=n$ denkleminin dogal sayilarda cozumu $\binom{n+k-1 }{k-1}$ ile verilir.

Dogal sayilarda cozumu ${n+k-1 \choose k-1}={15+8-1 \choose k-1}={22 \choose 7}=\dfrac{22!}{7!15!}=170544$

 
$\Bigg(\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}x^i\Bigg)^k$ serisi (geren fonksiyonu) ile cozum

 $\Bigg(\displaystyle\sum_{i=0}^{15}x^i\Bigg)^8$ serisi acilirsa $x^{15}$ terimin katsayisi cevap olur, $170544 x^{15}$

 

_______________________________________________________________________________________

 

Pozitive tam sayilarda cozum ${n-1 \choose k-1}={15-1 \choose k-1}={14 \choose 7}=\dfrac{14!}{7!7!}=3432$

 

Veya $\Bigg(\displaystyle\sum_{i=1}^{15}x^i\Bigg)^8$ serisi acilirsa $x^{15}$ terimin katsayisi cevap olur, $3432 x^{15}$

Comments

Formülün mantığı şu:

(0 doğal sayı olarak kabul ediliyor ise)

22 tane top (veya birbirini aynısı olan nesne) bir doğru boyunca dizilsin.

Bunlarda 7 tanesi seçilip alınırsa, (yanyana olanlar da alınabilir) 7 boşluk oluşur ve geriye kalan 15 top 8 gruba (yanyana toplar seçilmiş ise o grupta top yok) ayrılmış olur.

$x_i$ sayısı bir taraftan başlayarak, sıra ile $i$nci grupdaki topların sayısı olmak üzere, bu seçimlerin herbiri denklemin farklı bir sıralı 8 li çözüm verir ve tüm çözümler bu şekilde oluşturulabilir.

22 topdan 7 tanesinin kaç farklı seçilebileceğinin formülünü biliyor olmalısın.

Eğer 0 doğal sayı kabul edilmiyor ise, önce her terime birer sayı veririz ve toplamı 7 olan (0 dahil) doğal sayı 8 lileri bu mantıkla bulunabilir.