Tüm irrasyonel sayılarda (10 tabanı yerine başka bir taban kullansak dahi) böyle buna benzer bir işlem (oyun) irrasyonel bir sayıyı, yine irrasyonel bir sayıya (bu işlemin tersi de aynı tür bir işlem olduğu için de, rasyonel bir sayıyı da rasyonel bir sayıya) dönüştürür. Yeni işlem rakamların permütasyonu şeklinde olacak.
Bunun için rasyonel/irrasyonel olmanın kriterini kullanmak yeterlidir:
Bir sayının ondalık açılımı (başka bir taban için de geçerli) yazıldığında (bir yerden sonra) tekrarlı ise rasyonel, değilse irrasyoneldir.
Bundan daha da yeni işlem için genel bir işlem için ispatı yapalım:
$S_{10}$ :10 elemanlı (elemanlar: 0,1,2,...9) kümenin permütasyonlarının grubu olsun. (Başka tabanlar için 10 yerine o taban sayısı kullanılacak)
Bir $\sigma\in S_{10}$ alalım.
$\sigma$ nın, $0-9$ rakamlarının bir permütasyonu olduğunu varsayabiliriz.
$x=b_nb_{n-1}\cdots b_1b_0,a_1a_2\cdots a_n\cdots$ ($a_i,b_i\in\{0,1,2,\ldots9\}$) ($b_nb_{n-1}\cdots b_1b_0,\ x$ in tamsayı kısmı) irrasyonel sayısını,
$\sigma(x)={\sigma(b_n)}{\sigma(b_{n-1})}\cdots \sigma(b_0),\sigma(a_1)\sigma(a_2)\cdots\sigma(a_n)\cdots$ sayısına dönüştürsün.
($\sigma$ nın bir tpermütasyon değil $\sigma:\{0,1,\ldots,9\}\to \{0,1,\ldots,9\}$ olması durumunda, @eloi nin sorusunu elde ederiz)
$\sigma(x)$ sayısının da irrasyonel olduğunu göstereceğiz.
İddiaya eşdeğer olan: "Eğer $\sigma(x)$ rasyonel ise $x$ de rasyoneldir" önermesini (doğrudan) kanıtlayacağız.
$\sigma(x)$ rasyonel olsun.
O zaman $\forall k\geq m$ için $\sigma(a_{k+n})=\sigma(a_k)$ olacak şekilde $m,n\in\mathbb{N}$ vardır.
Fakat bu durumda (eşitliğin her iki tarafına $\sigma^{-1}$ permütasyonu uygulanarak)
$\forall k\geq m$ için $a_{k+n}=a_k$ elde edilir.
Bu da $x$ in rasyonel olması demektir.
$\sigma^{-1}(\sigma(x))=x$ olduğundan, $x$ rasyonel ise $\sigma(x)$ de rasyonel olur.
(Bazı rasyonel sayıları iki farklı şekilde (örneğin $0,5\bar{0}\cdots=0,4\bar{9}$) periyodik olarak yazabiliriz, seçimimize göre $\sigma(x)$ değişebilir ama rasyonel/irrasyonel olması bundan etkilenmez)