Topolojik Uzaylarda Baz-XV

Question

$\mathbb{R}$ 'de $\tau =\{A|x\in A\Rightarrow |x|\in A)\}$

ailesi $\mathbb{R}$ kümesi üzerinde bir topolojidir.

Bu topoloji için bir baz yazınız.

Ben aşağıdaki şekilde buldum.Başka neler olabilir?

$\mathcal{B} =\left\{\{x, |x|\}\big{|}x \in (-\infty,0) \right\}\cup \left\{\{x\}\big{|}x \in [0,\infty)\right\}$

Answer 1

$A\in \tau$ olsun. Amacımız (baz tanımı gereği) $A$ kümesinin, $\mathcal{B}$ ailesinin bir altailesinin birleşimi şeklinde yazılabileceğini göstermek.

$x\in A$ ise $|x|\in A$ olduğundan $x\in A$ ise $\{x,|x|\}\subseteq A$ olacaktır. Dolayısıyla

$\mathcal{A}:=\{\{x,|x|\}|x\in A\}\subseteq \tau$

alırsak

$A=\cup\{\{x,|x|\}|x\in A\}=\cup\mathcal{A}$

olacağından $\mathcal{B}$ ailesi, $\tau$ topolojisi için bir bazdır.

Comments

DÜZELTME:

Bu baz, bu topolojinin en küçük  bazıdır.

Çünki, $\beta'$ başka bir baz ise

$\forall x\in\mathbb{R}$ için, ($\{x,|x|\}\in\tau$ olduğundan) $x\in A$ ve $A\subseteq\{x,|x|\}$ olacak şekilde bir $A\in\beta'$  vardır. $A\in\tau$ olduğundan, $A=\{x,|x|\}$ olmak, dolayısyla da $\{x,|x|\}\in\beta'$ olmak zorundadır. Bu da $\beta\subseteq \beta'$ olduğunu gösterir.