En büyük toplam ,en küçük toplam soruları

Question

ax+by+cz=T  eşitliğindeki  x,y,z pozitif tam sayı değerlerinde maximum  toplam için  katsayısı büyük olana küçük değer ,minimum toplam için katsayısı büyük olana büyük değer verin gibi yaklaşımların mantığı nasıl gösterilebilir?

Örneğin iki değişken olsa birbiri cinsinden yazıp  toplamlarına karşılık gelen foksiyonu inceleyebiliriz.Üç veya daha fazla değişkende bu durumu nasıl gösterebiliriz?

Comments

Sorunuz doğru ifade edilememiş gibi duruyor. Sanırım T yi sabit tutup x, y, z değişkenlerinin extramumlarını bulmak istiyorsunuz.

---

" x,y,z pozitif tam sayı değerlerinde maximum  toplam" ile $x+y+z$ yi mi kast ediyorsunuz?

---

Haklısınız hocam,T sabiti diye belirtmem gerekirdi.

"x+2y+4z=100  eşitliğini sağlayan  x,y,z pozitif tam sayıları için x+y+z toplamı en az kaçtır?" formatındaki soruları kastediyorum.Sorunun çözümünden ziyade  yukarıda bahsettiğim yaklaşımların her zaman geçerli olduğu nasıl gösterilir? Bunu merak ediyorum.

---

En küçük $x+y+z$ değerini bulmak problemine bakalım.

Örneğin (verdiğin örnekteki gibi) $c$ en büyük katsayı olsun.

$cx+cy+cz=c(x+y+z)$ yi en küçük yapan ($x,y,z$) sayılar(ı) ile $x+y+z$ yi en küçük yapan ($x,y,z$) sayılar(ı) aynıdır.

$cx+cy+cz=(c-a)x+(c-b)y+(ax+by+cz)=(c-a)x+(c-b)y+cT$ olur.

Bunu minimum yapmak da, $(c-a)x+(c-b)y$ yi minimum yapmaya eşdeğerdir.

Bunu da yapabildiğinizi yazmışsınız.

(ama şu sorun var: her $x,y$ ikilisi için $ax+by+cz=T$ olacak şekilde bir $z$ pozitif tamsayısı var olmayabilir).

 

En büyük $x+y+z$ değerini bulmak da benzer mantıkla (en küçük katsayıyı kullanarak) yapılabilir.