$(X,\tau)$ topolojik uzay; $\mathcal{B}$, $\tau$ için baz ve $\mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}$ olsun.
Amacımız $\mathcal{B}_Y$ ailesinin $\tau_Y$ altuzay (relatif) topolojisi için baz olduğunu göstermek. Bunun için de $$\mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}\subseteq \tau_Y$$ olduğunu ve $$(\forall S\in\tau_Y)(\exists \mathcal{A}_Y\subseteq\mathcal{B}_Y)\left(S=\bigcup\mathcal{A}_Y\right)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}, \tau \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}\subseteq \tau \\ \\ \tau_Y:=\{Y\cap T|T\in \tau\} \end{array}\right\}\Rightarrow \mathcal{B}_Y:=\{Y\cap B|B\in \mathcal{B}\}\subseteq \tau_Y\ldots (1)$
Şimdi de $S\in\tau_Y$ olsun.
$\left.\begin{array}{rr} S\in\tau_Y\Rightarrow (\exists T\in\tau)(S=Y\cap T) \\ \\ \mathcal{B}, \tau \text{ için baz}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(S=Y\cap (\bigcup\mathcal{A}))$
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(S=Y\cap (\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A)=\bigcup_{A\in\mathcal{A}}(Y\cap A)) \\ \\ \mathcal{A}_Y:=\{Y\cap A|A\in\mathcal{A}\}\end{array}\right\}\Rightarrow$
$\Rightarrow (\mathcal{A}_Y\subseteq \mathcal{B}_Y)(S=\bigcup\mathcal{A}_Y).$
O halde $$(\forall S\in\tau_Y)(\exists \mathcal{A}_Y\subseteq\mathcal{B}_Y)\left(S=\bigcup\mathcal{A}_Y\right)\ldots (2)$$ önermesi de doğru.
$(1),(2)\Rightarrow \mathcal{B}_Y, \tau_Y$ için baz.