Sayının (10 tabanında yazılışında) soldaki 3 basamaklı kısmına $ x $ diyelim.
Sayımız $ 1001x+1 $ olur.
Bir $n\in\mathbb{N} $ için $ 1001x+1 =n^2 $ olsun. $316< n<1000 $ olmak zorundadır.
$ 1001x=n^2-1=(n-1)(n+1) $ olur.
$ 1001\mid (n-1)(n+1) $ ama $ 1001\nmid n-1 $ ve $ 1001\nmid n+1 $ dir.
$ 1001=7\cdot11\cdot13 $ dür, öyleyse bu 3 asal sayıdan ikisi, $ n\pm1 $ sayılarından birini, üçüncüsü de diğerini böler. $ \{p,q,r\}=\{7,11,13\} $ olsun.
Öyleyse bir $ pq ,\ n\pm1$ den birini böler ve o sayı, $ \mod r,\ \pm2 $ ye denk olur.
($[316,1000]$ aralığında, uygun değerler $\boxed{\textbf{koyu}}$)
$ \begin{array}{cc}
pq=77\text{ nin katları}& \mod 13 \\385 & 8 \\462 & 7 \\539 & 6 \\616 & 5 \\693 & 4 \\770 & 3 \\\boxed{\mathbf{847}}& \boxed{\mathbf{2 } } \\924 & 1\end{array} $
$ \begin{array}{cc}
pq=91\text{ nin katları} & \mod 11 \\
364 & 1 \\
455 & 4 \\
546 & 7 \\
637 & 10 \\
\boxed{\mathbf{728}} & \boxed{\mathbf{2}} \\
819 & 5 \\
910 & 8
\end{array} $
$ \begin{array}{cc}
pq=143\text{ nin katları} & \mod 7 \\
\boxed{\mathbf{429}} & \boxed{\mathbf{2}} \\
\boxed{\mathbf{572}} & \boxed{\mathbf{-2}} \\
715 & 1 \\
858 & 4 \\
\end{array} $
$ n=846,\ n=727,\ n=428,\ n=573 $ olabilir.
$846^2=715.716$
$ 727^2=528.529 $
$ 428^2=183.184 $
$ 573^2=328.329 $ olur.