EK: Bazı işlem hatalarını düzelttim (teşekkürler alperçay)
Denklemi düzenleyip:
$3ab-2018a-2018b=0$ şekline getirelim. (EK : önce her iki tarafı $3$ ile çarptıktan sonra) Her iki tarafa da $2018^2$ eklenirse, sol taraf çarpanlara ayrılabiliyor.
$(3a-2018)(3b-2018)=2018^2=2^2\cdot1009^2$ ($1009$ bir asal sayıdır.)
Sol taraftaki çarpanlar tamsayı ve ikisi de $\equiv1\mod4$ olduğu için, Aritmetiğin Temel Teoreminden,
$3a-2018=1,\ 3b-2018=2018^2$ ya da
$3a-2018=4,\ 3b-2018=1009^2$ ya da,
$3a-2018=1009,\ 3b-2018=4\cdot1009$ ya da yukarıdaki eşitliklerde, $a$ ile $b$ nin yer değiştirdiği durumlar olmalıdır.
Bunlar da, bize $\{a,b\}=\{673,2018\times 673\},\{674,1009\times 337\},\{1009,2018\}$ çözümlerini verir.
(Biraz daha uzun çözüm:
$3ab=2018(a+b)$ eşitliğinden, önce, $a\mid 2018b$ ve $b\mid 2018a$, daha sonra ($\mathbf{a< b}$ durumunda) , $1009\mid b$ elde edilir.
Daha sonra da, $b=1009k \ (k\in\mathbb{N}^+)$ yazıp, olası $k$ ve $a,b$ değerleri bulunur.)