Küçük değerleri inceleyerek denklemin bir çözümünün $(m,n) = (1, 3)$ sıralı ikilisi olduğunu gözlemlemekte fayda var. Başka çözüm olup olmadığını araştıralım.
Sophie Germain özdeşliğini kullanarak $85^m = n^4 + 4 = (n^2 - 2n +2)(n^2 + 2n +2) $ biçiminde çarpanlara ayıralım. $n=1$ için $85^m = 5$ olup denklemi sağlayan bir $m$ tam sayısı olmadığını anlarız. Bu sayede $n\geq 2$ kabul edebiliriz ve böylelikle, çözümün sonraki basamaklarında $n^2 - 2n +2$ ve $n^2 + 2n +2$ çarpanlarının $1$ den büyük olduğunu kullanabiliriz.
$85=5\cdot 17$ dir.
- $5\mid n^2 - 2n +2$ veya $5\mid n^2 + 2n +2$ dir.
- $17\mid n^2 - 2n +2$ veya $17\mid n^2 + 2n +2$ dir.
Eğer $5\mid n^2 - 2n +2$ ise $(n-1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5}$ olup $(n-1)^2 \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}$ yazılır. Buradan $n \equiv 3 \text{ veya } 4 \pmod{5}$ bulunur. Bu değerler ise $(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{5}$ denkliğini sağlamadığı için $(n-1)^2 + 1$, $(n+1)^2 + 1$ çarpanlarından yalnızca biri $5$ e tam bölünebilir.
Eğer $17\mid n^2 - 2n +2$ ise $(n-1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{17}$ olup $(n-1)^2 \equiv -1 \equiv 16 \pmod{17}$ yazılır. Buradan $n \equiv 5 \text{ veya } -3 \pmod{17}$ bulunur. Bu değerler ise $(n+1)^2 + 1 \equiv 0 \pmod{17}$ denkliğini sağlamadığı için $(n-1)^2 + 1$, $(n+1)^2 + 1$ çarpanlarından yalnızca biri $17$ ye tam bölünebilir.
Çarpanlardan herhangi biri $1$ e eşit olamayacağına göre, Bu çarpanlardan küçük olanı $5^m$ e eşit, büyük olanı ise $17^m$ e eşit olmalıdır.
$(n-1)^2 + 1 = 5^m $ ve $(n+1)^2 + 1 = 17^m $ denklemlerinden $n$ bilinmeyenini yalnız bırakırsak $ n = \sqrt{5^m - 1} +1 = \sqrt{17^m - 1} - 1$ elde edilir. Böylece
$$ \sqrt{17^m - 1} - \sqrt{5^m - 1} = 2 \tag{1}$$
olur. $m\geq 1$ tam sayıları için $17^m > 5^m$ olduğundan bu denklemin sol tarafındaki $ \sqrt{17^m - 1} - \sqrt{5^m - 1}$ ifade artandır. Dolayısıyla $(1)$ denklemini sağlayan en fazla bir $m$ değeri olabilir. Başta da belirttiğimiz gibi $m=1$ bir çözümdür.
Tek çözümün $(m,n) = (1,3)$ sıralı ikilisi olduğunu anlarız.