Önce şunu gösterelim:
Her $n\in\mathbb{Z}$ için $|\sin n|,|\sin(n+1)|,|\sin(n+2)|$ sayılarından en az biri $\frac12$ den büyük olur.
($ \mathbb{R} $ de) $(n-1,n+3)$ aralığında (uzunluğu$=4>\pi$ olduğu için) en az bir $ \frac{2k+1}{2}\pi (k\in\mathbb{Z})$ sayısı vardır.
($ \frac\pi3<2 $ olduğu için) $\frac{2k+1}{2}\pi\pm\frac\pi3 $ sayılarından en az biri $(n-1,n+3)$ aralığındadır.
($ \frac\pi3>1 $ olduğu için)
$\frac{2k+1}{2}\pi-\frac\pi3 \in (n-1,n+3) $ ise $m\in(\frac{2k+1}{2}\pi-\frac\pi3,\frac{2k+1}{2}\pi) $ olacak şekilde;
$\frac{2k+1}{2}\pi+\frac\pi3 \in (n-1,n+3) $ ise $m\in(\frac{2k+1}{2}\pi,\frac{2k+1}{2}\pi+\frac\pi3) $ olacak şekilde
bir $ m\in\mathbb{Z} $ vardır.
$(\frac{2k+1}{2}\pi-\frac\pi3,\frac{2k+1}{2}\pi+\frac\pi3) $ aralığında $|\sin x|>\frac12$ olduğundan)
Her iki durumda da, $n-1<m<n+3$ ve $ |\sin m|>\frac12 $ olur. İddiamız kanıtlanmıştır.
Şimdi serimize dönelim:
Yukarıdaki önermeden, (her $ k\geq1 $ için):
$ \frac{|\sin(3k-2)|}{3k-2}+\frac{|\sin(3k-1)|}{3k-1}+\frac{|\sin(3k)|}{3k}\geq\frac1{3k}\left(|\sin(3k-2)|+|\sin(3k-1)|+|\sin(3k)|\right)>\frac1{3k}\frac12=\frac16\frac1{k} $
elde edilir. Bu eşitsizlikler ($k=1,2,\ldots,n$ için) yazılıp, taraf tarafa toplandığında:
$ \frac{|\sin1|}{1}+\frac{|\sin2|}{2}+\cdots+\frac{|\sin(3n)|}{3n}>\frac16(1+\frac12+\cdots+\frac1{n} ) $ bulunur.
$1+\frac12+\cdots+\frac1{n} $, harmonik serinin $ n $ nci kısmi toplamı olup, (pozitif terimli) harmonik serinin ıraksak oluşundan, $(1+\frac12+\cdots+\frac1{n} )_{n=1}^\infty $ dizisi sınırsızdır.
Yularıdaki eşitsizlikten dolayı, $ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n} $ serisinin kısmi toplamlar dizisi de sınırsız, dolayısıyla kısmi toplamlar dizisi ıraksak olur.
Bu da, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n} $ serisinin ıraksak olduğunu gösterir.