Soru 24. $5 \times 5$ bir satranç tahtasının her birim karesine bir sayı, her satırda ve her sütunda en fazla $3$ farklı sayı olacak şekilde yazılmıştır. Buna göre, bu tahtanın tamamında en fazla kaç farklı sayı yer alabilir?
$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ 14$
Sorunun çözümü ile ilgili girişimim şöyledir:
$11$ sayının yerleştirilebildiğine örnek verebiliriz.
Önce $1, 2, 3$ sayılarını şekildeki gibi yerleştirelim.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 1 & \text{ } & \text{ } \\ \hline
1 & 1 & 1 & & \\ \hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
\text{ } & \text{ } & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\text{ } & \text{ } & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\end{array}
$$
Sonra kalan boş yerlerin her birine $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11$ sayılarından birer tane gelecek şekilde yerleştirelim.
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
1 & 1 & 1 & 4 & 5 \\ \hline
1 & 1 & 1 & 6 & 7 \\ \hline
1 & 1 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
8 & 9 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
10 & 11 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\end{array}
$$
$11$ den daha fazla sayı yerleştirilemeyeceğini henüz ispatlayamadım. Bu kısmı da ispatlanırsa, çözüm tamamlanmış olacaktır.