$x^2+xy+y^2$ ifadesi

Question

Her  $x,y\in \mathbb{R}$  için $x^2+xy+y^2\ge0$ olması gerekir diye düşünüyorum ama gösteremedim. AO-GO eşitsizliğinden $x^2-2xy+y^2\ge0$ olduğunu biliyorum ama kullanamadım.

Comments

$y=0$ iken doğru oluyor.

$\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times(\mathbb{R}\setminus \{0\})$ için $\left(\frac xy\right)^2+\frac xy+1>0$ olduğunu gösterebilir misin?

---

$x/y=a$ dersek $a^2+a+1$ parabolünün reel kökü olmadığından ve $a\gt0$ olduğundan $x$ eksenini kesmez ve $a^2+a+1\gt0$ olduğunu söyleyebiliriz. Verdiğiniz eşitlikte de payda eşitleyince istediğim eşitsizliği elde ediyorum. Teşekkür ederim hocam.

---

@alicengiz75 Bir başka yol olarak ifadeyi $2$ ile genişletmeyi deneyebilirsiniz: $2x^2 + 2xy + 2y^2 = (x+y)^2 +x^2 + y^2 \geq 0$.

---

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ özdeşliğinde $x^3-y^3$  ve $x-y$ aynı işaretli olacağından $x^2+xy+y^2\gt0$ olmalıdır